2022年湖南省株洲市思聪中学高三数学文联考试卷含解析

2022年湖南省株洲市思聪中学高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知△ABC为等边三角形，，设点P，Q满足，，，若，则（　　　） （A）   　（Ｂ）　　　（Ｃ）　　　（Ｄ） 参考答案： A 2. 若全集，，则=（    ） A.              B.             C.            D. 参考答案： A 略 3. 若复数z满足（1﹣z）（1+2i）=i，则在复平面内表示复数z的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 参考答案： D 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数，求出对应点的坐标即可． 【解答】解：复数z满足（1﹣z）（1+2i）=i， 可得1﹣z===， z=，复数的对应点的坐标（，﹣）在第四象限． 故选：D． 4. 已知向量,,,则（  ） A． B．       C．          D． 参考答案： C 5. 已知是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点.若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为       （     ） A.     B.       C.     D. 参考答案： A 6. 若，满足，，且，则与的夹角为（   ）   A．       B．     C．      D． 参考答案： C   考点：向量的夹角． 7. 等差数列{an}的通项公式an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列前10项的和为(     ) A．120 B．70 C．75 D．100 参考答案： C 【考点】数列的求和． 【专题】计算题． 【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式，可得Sn==n（n+2），进而可得=n+2，分析可得数列也是等差数列，且其通项公式为则=n+2，由等差数列的前n项和公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，等差数列{an}的通项公式an=2n+1， 则其首项为3，公差为2， 其前n项和为Sn==n（n+2）， 则=n+2， 数列也是等差数列，且其通项公式为则=n+2， 有a1=3，a10=12， 则其前10项的和为=75； 故选C． 【点评】本题考查数列的求和，关键是求出数列的通项，推出数列的性质，进而选择合适的求和公式． 8. 某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A．      B．      C．      D． 参考答案： B 考点：三视图，体积． 9. 函数的单调递减区间是 (　  ) A.        B.        C.        D. 参考答案： A 10. 已知函数f（x）=，则关于方程f（|x|）=a，（a∈R）实根个数不可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： D 【考点】分段函数的应用． 【分析】由题意可得求函数y=f（|x|）的图象和直线y=a的交点个数．作出函数y=f（|x|）的图象，平移直线y=a，即可得到所求交点个数，进而得到结论． 【解答】解：方程f（|x|）=a，（a∈R）实根个数 即为函数y=f（|x|）和直线y=a的交点个数． 由y=f（|x|）为偶函数，可得图象关于y轴对称． 作出函数y=f（|x|）的图象，如图， 平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点． 不可能有5个交点，即不可能有5个实根． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 方程表示的曲线所围成区域的面积是       ； 参考答案： 24 12. 函数是定义在R上的奇函数，当，，则函数解析式        . 参考答案： 【分析】 根据已知条件和奇函数的性质，易求出函数的解析式，最后表示成分段函数即可. 【详解】是定义在R上的奇函数，， 当时，， 则， 当时，， . 所以本题答案为. 【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，要求学生会根据函数奇偶性的性质，结合已知条件求出函数的解析式，注意解析式是否是分段函数，属基础题. 13. 若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为　　． 参考答案： π   考点： 参数方程化成普通方程；弧长公式．3804980 专题： 直线与圆． 分析： 根据同角三角函数关系消去参数θ，即可求出曲线Γ的普通方程，得出是一段圆弧，再利用弧长公式求其长度即可． 解答： 解：由（θ为参数且）， 即， 得（x﹣1）2+（y﹣2）2=9． 其中得 ∴曲线Γ表示一段圆心角为，半径为3的圆弧，如图． 其弧长为l=αR==π． 故答案为：π． 点评： 本题主要考查了圆的参数方程，以及参数方程化成普通方程，属于基础题． 14. 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为      . 参考答案： 15. 已知角的终边经过点_______________. 参考答案： -4 16. 已知实数a，b，c，d满足条件，求的最小值是_________ 参考答案： －24 17. 从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数和为5的概率是    ． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【专题】概率与统计． 【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数和为5的有2种情形，由概率公式可得． 【解答】解：从1，2，3，4这4个数中一次随机地取2个数有 （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形， 其中满足所取2个数和为5的有（1，4），（2，3）共2种情形， ∴所求概率为= 故答案为： 【点评】本题考查列举法表示基本事件及求概率，属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 求函数的定义域、最小正周期、值域、单调性、最值. 参考答案： 定义域   值域  单调增区间 单调减区间 周期 最值当 当 略 19. 在中，角所对的边为，且满足 （1）求角的值； （2）若且，求的取值范围． 参考答案： 解：（1）由已知得 ，----------4分 化简得，故．----------6分 （2）由正弦定理，得， 故                          ----------8分 因为，所以，，----------10分 所以．    ----------12分 略 20. （12分）已知等差数列{an}．满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=﹣1． （Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{an?bn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】： 数列的求和． 【专题】： 等差数列与等比数列． 【分析】： （Ⅰ）设d、为等差数列{an}的公差，且d＞0，利用数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，求出d，然后求解bn． （Ⅱ）写出利用错位相减法求和即可． （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设d、为等差数列{an}的公差，且d＞0 由a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3成等比数列， 得（2+d）2=2（4+2d）， d＞0，所以d=2，所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1， 又因为an=﹣1﹣2log2bn， 所以log2bn=﹣n即bn=．…（6分） （Ⅱ）…①， …②， ①﹣②，得 ．…（10分） ∴…（12分） 【点评】： 本题考查数列求和的基本方法错位相减法的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力． 21. . (本小题满分12分） PM2. 5是指大气中直径小于或等于2. 5微米的颗粒物，也称为 可人肺颗粒物.我国PM2. 5标准采用世卫组织设定的最宽限 值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级； 在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从市区2012年全年每天的PM2.5监测数据中 随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为 茎，个位为叶）   (I)从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的 分布列； (II) 以这15天的PM2.     5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年(按360天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级. 参考答案： （Ⅰ）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为：.       …6分   （Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为， 一年中空气质量达到一级的天数为，则，∴（天） 所以一年中平均有天的空气质量达到一级.                略 22. 已知抛物线的焦点在抛物线上，点P是抛物线C1上的动点． （1）求抛物线C1的方程及其准线方程； （2）过点P作抛物线C2的两条切线，A、B分别为两个切点，求△PAB面积的最小值． 参考答案： （Ⅰ）的方程为 其准线方程为．…………4分 （Ⅱ）设，，， 则切线的方程：，即，又， 所以，……………………………………………………………6分 同理切线的方程为， 又和都过点，所以， 所以直线的方程为. ………………………………………………8分 联立得，所以。 所以． 点到直线的距离． 所以的面积………………10分 所以当时， 取最小值为。即面积的最小值为2.……………12分