山西省吕梁市贺家坡中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省吕梁市贺家坡中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设数列是等差数列，且，则这个数列的前5项和=             （    ） A.  10      B.  15      C.  20      D.  25 参考答案： D 略 2. 若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为 A．1                B．             C．             D． 参考答案： B 曲线上的点P到直线的最短距离，就是与直线y＝x－2平行且与y＝x2－lnx 相切的直线上的切点到直线y＝x－2的距离．过点P作y＝x－2的平行直线，且与曲线y＝x2－lnx相切，设P(x0，x－lnx0)，则k＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)．∴P(1,1)，∴d＝＝ 3. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（   ）           y                                      A                   B                C                D 参考答案： A 略 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S是（　　） A．10 B．15 C．20 D．35 参考答案： D 【考点】程序框图． 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的p，s，i的值，当i=6时，不满足条件i≤5，退出循环，输出s的值为35． 【解答】解：执行程序框图，有 i=1，p=0，s=0 满足条件i≤5，p=1，s=1，i=2 满足条件i≤5，p=3，s=4，i=3 满足条件i≤5，p=6，s=10，i=4 满足条件i≤5，p=10，s=20，i=5 满足条件i≤5，p=15，s=35，i=6 不满足条件i≤5，退出循环，输出s的值为35． 故选：D． 5. 设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则. 其中正确命题的个数是（    ） A．1         B．2       C．3         D．4 参考答案： D 6. 已知函数，且关于x的方程有6个不同的实数解，若最小实数解为 – 3，则a + b的值为 A．– 3    B．– 2    C．0      D．不能确定 参考答案： B 7. 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（﹣m，0），B（m，0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则正数m的最小值与最大值的和为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 参考答案： B 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最大（小）值即为|OP|的最大（小）值，可得结论． 【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1， 设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b）， ∵∠APB=90°，∴， ∴=（a+m）（a﹣m）+b2=0， ∴m2=a2+b2=|OP|2， ∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6． 最小值即为|OP|的最小值，等于|OC|﹣r=5﹣1=4， ∴正数m的最小值与最大值的和为10． 故选B． 8. 已知数列{an}，an=2n+1，则=（　　） A． B．1﹣2n C． D．1+2n 参考答案： C 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】先求出数列的第n项=，然后根据等比数列的求和公式进行求解即可． 【解答】解：an+1﹣an=2n+1+1﹣（2n+1）=2n ∴= ∴=++…+= 故选C． 9.        的充要条件（  ） A.2        B.-2        C.           D. 参考答案： C 10. 已知不共线的两个向量，且，若存在n个点（）关于点A的对称点为（）关于点B的对称点为（），当点C为线段AB中点时，则（    ） A．         B．       C．        D．5 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为　　． 参考答案： 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】求得B和C点坐标，根据直线的斜率公式可得k1×k2=﹣1，即可求得=1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率． 【解答】解：由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0）， 当x=c时，代入双曲线方程，解得：y=±， 设B（c，），C（c，﹣）， 则直线A1B的斜率k1==， 直线A2C的斜率k2==﹣， 由A1B⊥A2C，则k1×k2=﹣1，即×=1， 则=1， 双曲线的离心率e===， 故答案为：． 12. △ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4，c=5，B=2C，点D为边BC上一点，且BD=6，则△ADC的面积位　　． 参考答案： 10 【考点】正弦定理． 【分析】由已知利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理可求cosC，利用二倍角的余弦函数公式可求cosB=cos2C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，由余弦定理可得BC2﹣6BC﹣55=0，解得BC，可求DC的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：∵b=4，c=5，B=2C， ∴由正弦定理可得： ==，可得：cosC=， ∴cosB=cos2C=2cos2C﹣1=，sinC==， ∴在△ABC中，由余弦定理可得：（4）2=52+BC2﹣2×， 整理可得：BC2﹣6BC﹣55=0，解得：BC=11或﹣5（舍去）， ∴DC=BC﹣BD=11﹣6=5， ∴S△ADC=AC?DC?sinC==10． 故答案为：10． 13. 现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有　 　种不同的分法（用数字作答）． 参考答案： 48 【考点】排列、组合的实际应用． 【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论． 【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况， ∴共有8×6=48种不同的分法． 故答案为48． 　 14. 现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为          ． 参考答案： 480 假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置,有A55=120种情况，故不同排列方法种数4*120=480种. 故答案为480. 15. 已知函数，若，则实数a的取值范围是        ． 参考答案： 16. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是          ． 参考答案： 考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系． 专题：直线与圆． 分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可． 解答： 解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆； 又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点， ∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可． 设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d， 则d=≤2，即3k2﹣4k≤0， ∴0≤k≤． ∴k的最大值是． 故答案为：． 点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题． 17. 设，函数的值域为，若，则的取值范围 是             . 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某校50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表： 答对题目个数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15 根据上表信息解答以下问题： （Ⅰ）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率； （Ⅱ）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望EX.   参考答案： 解（Ⅰ）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则             ………………………………………（3分）                  ，…………………………………（5分）        即两人答对题目个数之和为4或5的概率为 ……………………（6分） （Ⅱ）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3.       则………………………（7分）       ……………………（8分）       ………………………………（9分）       …………………………………………（10分） 从而X的分布列为： X 0 1 2 3 …………（11分） P X的数学期望……………（12分） 略 19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面，，分别是，的中点。 （I）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； （II）设（I）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足。记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：。 参考答案： （I），， 又 （II）连接DF，用几何方法很快就可以得到求证。（这一题用几何方法较快，向量的方法很麻烦，特别是用向量不能方便的表示角的正弦。个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差。） 【相关知识点】 20. (本小题满分12分)已知函数. （I）当时，求在处的切线方程； （II）设函数， （ⅰ）若函数有且仅有一个零点时，求的值； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若，，求的取值范围。   参考答案： (Ⅰ) ;(Ⅱ) , （Ⅰ）当时，，定义域 .……………………1分 ，又， 在处的切线方程 …………………………2分 （Ⅱ）（ⅰ）令=0 则 即                …………………………4分 令， 则       令 ， ，在上是减函数…………………6分 又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ， 所以当函数有且仅有一个零点时     …………………8分 （ⅱ）当，，若，，只需证明， ， 令 得 ………………10分 又， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 又  ，         即                 ………………12分   21. 设椭圆的焦点分别为、，直线：交轴于点，且． （1）试求椭圆的方程； （2）过、分别作互