湖南省常德市桃源县牛车河乡中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析

湖南省常德市桃源县牛车河乡中学2022-2023学年高二数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知复数（为虚数单位），则（    ） A．   B．   C．      D． 参考答案： A 复数。 2. 已知随机变量服从正态分布，，则（ ） A. 0.16 B. 0.32 C. 0.68  D.0.84 参考答案： A 由正态分布的特征得＝，选A. 3. 如图，在等腰直角三角形ABC所在平面内，∠BAC＝∠CBD＝90°，若 则 （A）x＋y＝1 （B）x＋y＝ （C）x－y＝1 （D）x－y＝ 参考答案： C 略 4. 设成等比数列，其公比为2，则的值为（ ） A．      B．     C．     D．1 参考答案： A 略 5. 设，b，c是空间三条不同的直线，，是空间两个不同的平面，则下列命题不成立的是（     ） A.当时，若⊥，则∥    B.当，且是在内的射影时，若b⊥c，则⊥b C．当时，若b⊥，则 D．当时，若c∥，则b∥c 参考答案： 6. 设a∈R，则a＞1是＜1的（　　） A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】不等关系与不等式；充要条件． 【分析】根据 由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时），从而得到结论． 【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a=﹣1时）， 故a＞1是＜1 的充分不必要条件， 故选  B． 【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单 有效的方法． 7. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中与AD1成60°角的面对角线的条数是（　　） A．4条 B．6条 C．8条 D．10条 参考答案： C 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的图象，根据图象先找出与AD1成60的直线条数，再找出直线条数，选出正确答案 【解答】解：在几何体中，根据正方体的性质知所有过A和D1点的正方体面的对角线与它组成的角都是60°， 这样就有4条， 根据正方体的性质，在正方体的各侧面上的对角线平行的也满足条件， 故一共有8条， 故选C． 8. 如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①⑤ 参考答案： D 【考点】平面的基本性质及推论． 【专题】对应思想；分析法；空间位置关系与距离． 【分析】根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案 【解答】解：当截面过旋转轴时， 圆锥的轴截面为等腰三角形，此时（1）符合条件； 当截面不过旋转轴时， 圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时（5）符合条件； 故截面图形可能是（1）（5）， 故选：D． 【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥曲线的定义，熟练掌握圆锥曲线的定义是解答的关键． 9. 459和357的最大公约数是（  ） A．3         B．9       C．17        D．51 参考答案： D 试题分析：用大数除以小数，得到商和余数，再用上面的除数除以余数，有得到商和余数，继续做下去，知道刚好能够整除为止，得到两个数的最大公约数． 解：∵459÷357=1…102， 357÷102=3…51， 102÷51=2， ∴459和357的最大公约数是51， 故选：D．   10. 已知向量=（cosα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则tan（α﹣）等于（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 参考答案： B 【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；GR：两角和与差的正切函数． 【分析】根据两个向量共线的充要条件，得到关于三角函数的等式，等式两边同时除以cosα，得到角的正切值，把要求的结论用两角差的正切公式展开，代入正切值，得到结果． 【解答】解：∵， ∴cosα+2sinα=0， ∴tanα=， ∴tan（） = =﹣3， 故选B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二进制数转换成十进制数是_________________. 参考答案：  解析： 12. 线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，|AB| = 5，点M是线段AB上一点，且|AM| = 2，点M随线段AB的运动而变化，则点M的轨迹方程为________. 参考答案： 13. 若实数满足，则的最小值为____. 参考答案： 4 14. 已知直线l：mx﹣y﹣m+2=0与圆C：x2+y2+4x﹣4=0交于A，B两点，若△ABC为直角三角形，则m=　   　． 参考答案： 0或   【分析】圆心C（﹣2，0），半径r=4，由直线l：mx﹣y﹣m+2=0与圆C：x2+y2+4x﹣4=0交于A，B两点，△ABC为直角三角形，得到|AB|=8，圆心C（﹣2，0）到直线l：mx﹣y﹣m+2=0的距离为4，由此能求出结果． 【解答】解：圆心C（﹣2，0），半径r==4， ∵直线l：mx﹣y﹣m+2=0与圆C：x2+y2+4x﹣4=0交于A，B两点，△ABC为直角三角形， ∴|AB|===8， ∴圆心C（﹣2，0）到直线l：mx﹣y﹣m+2=0的距离： d===4， 解得m=0或m=． 故答案为：0或． 　 15. 正方体ABCD--A1B1C1D1中，异面直线BD与A1C1所成的角为          参考答案： 16. 从1至200的整数中，任意取出3个不同的数构成以整数为公比的等比数列，其取法有         种． 参考答案： 112．解析：若首项、公比确定，这三个数就确定．当q=2时，=1，2，…，50，共50种； 当q=3时，=1，2，…，22，共22种；当q=4时，=1，2，…，12，共12种； 当q=5时，=1，2，…，8，共8种；……；当q=14时，=1，共1种． ∴取法共有 17. 若双曲线的离心率为2，则        ． 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1的中点．如图所示． （1）求证：DC1⊥平面BCD； （2）求二面角A﹣BD﹣C的大小． 参考答案： 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明DC1⊥平面BDC． （2）分别求出平面ABD的法向量和平面DBC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BD﹣C的大小． 【解答】（理）（1）证明：按如图所示建立空间直角坐标系． 由题意知C（0，0，0）、A（2，0，0）、B（0，2，0）、 D（2，0，2）、A1（2，0，4）、C1（0，0，4）． ∴=（﹣2，0，2），，． ∵=0，． ∴DC1⊥DC，DC1⊥DB． 又∵DC∩DB=D， ∴DC1⊥平面BDC． （2）解：设是平面ABD的法向量． 则， 又，， ∴，取y=1，得=（1，1，0）． 由（1）知， =（﹣2，0，2）是平面DBC的一个法向量， 记与的夹角为θ， 则cosθ==﹣， 结合三棱柱可知，二面角A﹣BD﹣C是锐角， ∴所求二面角A﹣BD﹣C的大小是． 19. 已知数列{an}满足：，且． （1）求，，的值，并猜想{an}的通项公式； （2）试用数学归纳法证明上述猜想． 参考答案： (1) ，，，猜想 (2)见解析 试题分析：根据数列的递推公式求出，，的值，从而可以猜想的通项公式；根据数学归纳法的证明步骤，①当时，猜想显然成立；②假设 时猜想成立，根据递推公式只要求出 ，也就是当时，猜想也成立，从而最后得出结论。 解析：（1）由递推公式可得，，，可猜想 . （2）下面用数学归纳法证明猜想成立. ①当时，猜想显然成立； ②假设 时猜想成立，即， 则时，由可得 ， 即：当时，猜想也成立， 由①②可知，当时，. 20. 在直角坐标系中，点P是曲线C上任意一点，点P到两点，的距离之和等于4，直线与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）若，求k的值。 参考答案： 解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为． （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得，故． 若，即．而， 于是，化简得，所以． 21. 已知f（x）=． （1）若f（x）＞k的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，求k的值； （2）若对任意x＞0，f（x）≤t恒成立，求实数t的取值范围． 参考答案： 【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题． 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】（1）根据题意，把f（x）＞k化为kx2﹣2x+6k＜0，由不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出k的值；（2）化简f（x），利用基本不等式，求出f（x）≤t时t的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）＞k， ∴＞k； 整理得kx2﹣2x+6k＜0，∵不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞﹣2}， ∴方程kx2﹣2x+6k=0的两根是﹣3，﹣2； 由根与系数的关系知， ﹣3+（﹣2）=， 即k=﹣； （2）∵x＞0， ∴f（x）==≤=， 当且仅当x=时取等号； 又∵f（x）≤t对任意x＞0恒成立， ∴t≥， 即t的取值范围是[，+∞）． 【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，基本不等式的应用问题，是综合题． 22. 若，，则与均垂直的单位向量的坐标为 参考答案： 或者