辽宁省辽阳市五星镇中学2022年高三数学理测试题含解析

辽宁省辽阳市五星镇中学2022年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数为f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（　　） A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b 参考答案： A 考点： 导数的运算；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小． 解答： 解：设h（x）=xf（x）， ∴h′（x）=f（x）+x?f′（x）， ∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数， ∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数， 当x＞0时，h'（x）=f（x）+x?f′（x）＞0， ∴此时函数h（x）单调递增． ∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2）， 又2＞ln2＞， ∴b＞c＞a． 故选：A． 点评： 本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题． 2. O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（   ）     A．一定不共面     B．一定共面       C．不一定共面     D．无法判断 参考答案： B 3. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB=，cosB=，则a+c=（　　） A． B． C．3 D．2 参考答案： C 【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用． 【分析】根据同角的三角关系式求出ac的值，结合余弦定理进行求解即可得到结论． 【解答】解：∵sinB=，cosB=， ∴sin2B+cos2B=1， 即（）2+（）2=1， 则（）2=1﹣（）2=（）2， ∴ac=13，cosB== ∵a，b，c成等比数列， ∴ac=b2=13， ∵b2=a2+c2﹣2accosB， ∴13=（a+c）2﹣2ac﹣2ac×=（a+c）2﹣26﹣2×13×=（a+c）2﹣50， ∴（a+c）2=63， 即a+c==3， 故选：C． 4. 已知定义在(0,+∞)上的函数，，设两曲线与在公共点处的切线相同，则m值等于 A.5       B.3       C. －3     D． －5 参考答案： D 5. 已知全集U=R，集合A=， B=，那么集合 A、 B、 C、   D、 参考答案： 答案：D 6. 已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是16，双曲线：的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（    ） A. 2    B.     C.     D. 1 参考答案： D 抛物线的焦点为,由弦长计算公式有 ,所以抛物线的标线方程为,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为,即 ,所以 ,渐近线方程为,直线 方程为,所以点,点P到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选D. 点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离. 7. 如图，PA垂直于正方形ABCD所在平面,则以下关系错误的是（　　） A．平面PCD平面　　　　　   B．平面PCD平面 C．平面平面PBC　　　　      D．平面平面PAD 参考答案： A 略 8. 已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和，若，，则的值是          （A）                  （B） 69        （C）93      （D）189   参考答案： C 略 9. 平面向量满足，，，，则的最小值为（ ） A.          B.        C.  1      D. 2 参考答案： 【答案解析】B解析：设，则有x=1,m=2,,得，所以，所以选B. 【思路点拨】在向量的计算中，若直接计算不方便，可考虑建立坐标系，把向量坐标化，利用向量的坐标运算进行解答. 10. 函数的定义域是 A．                     B． C．                      D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于          ． 参考答案： 12. 已知数列中，，则数列通项公式_______． 参考答案： 由已知可得，． ∵，， ∴，， ∴． ∴ ．     ∵，，． 13. 将的图像向右平移2个单位后得曲线，将函数的图像向下平移2个单位后得曲线，与关于轴对称．若的最小值为且，则实数的取值范围为         ． 参考答案： 14. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是___________________ 参考答案： 或 ，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以，即的取值范围是。 15. 在中，A=300，AB=4, BC=2  则的面积为_________． 参考答案： 16. 设满足约束条件若目标函数的最大值为,则的最小值为_________. 参考答案： 9   考点：简单线性规划 17. 若实数满足不等式，则的取值范围是       参考答案： [-,2) 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直线，与抛物线y=x2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=﹣c交于点P，Q． （1）若?=2，求c的值； （2）若c=1，P为线段AB的中点，求证：直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点． （3）若c=1，直线QA的斜率存在，且与该抛物线有且仅有一个公共点，试问P是否一定为线段AB的中点？说明理由． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质；平面向量数量积的运算． 【分析】（1）设出直线AB：y=kx+c，代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得c的值； （2）运用中点坐标公式可得Q的坐标，运用两点的斜率公式，可得QA的斜率，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率，即可得证； （3）设A（t，t2），这里xA=t≠0，由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2．求得Q的横坐标，P的横坐标，求得AC的方程，联立抛物线的方程，求得B的横坐标，运用中点坐标公式，即可判断P为线段AB的中点． 【解答】解：（1）设直线AB：y=kx+c，与y=x2联立，得x2﹣kx﹣c=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1x2=﹣c，从而y1y2=x12x22=c2， 由?=2，可得c2﹣c=2得c=2或﹣1（舍去）， 得c=2； （2）证明：由（1）可得， 故直线PQ：x=，可得Q（，﹣1）． 设，kQA==， 由（1）可得x1x2=﹣1，即有x2=﹣， 可得kQA==2x1， 由y=x2的导数为y′=2x， 可得过A的切线的斜率为2x1， 故直线QA与该抛物线有且仅有一个公共点； （3）设A（t，t2），这里xA=t≠0， 由（2）知过A的与y=x2有且仅有一个公共点的斜率存在的直线必为y=2tx﹣t2． 与y=﹣1相交，得xQ=， 故xP=， =（t，t2﹣1）， 所以直线AC：y=（t﹣）x+1，与y=x2联立，得x2﹣（t﹣）x﹣1=0， 即（x﹣t）（x+）=0，故xB=﹣． 这样，即P是AB的中点． 19. 已知数列{an}的前n项和Sn满足：且 （1）求数列{an}的通项公式; （2）记，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： (1) 由且，得，解得 故                                              2分 当n=1时，                                       3分 当时，                           5分 且当n=1时上式仍成立，                         6分 （2）          9分      12分 20. 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示． (1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积； (2)证明：A1C⊥平面AB1C1； (3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论． 参考答案： (1)几何体的直观图如图． 四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C， ∴其体积V＝×1××＝． (2)∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC. ∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1. ∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1， ∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥A1C. ∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. ∵B1C1∩AC1＝C1， ∴A1C⊥平面AB1C1. (3)当E为棱AB的中点时， DE∥平面AB1C1. 证明：如图，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE， ∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，∴EF∥AB1.   ∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1. 同理可得FD∥平面AB1C1， 又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C. 而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1. 21. 已知函数是定义在上的偶函数，，其中均为常数。 (1)求实数的值； (2)试讨论函数的奇偶性； (3)若，求函数的最小值。   参考答案： (1) ；(2) 当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数；(3) 解析：（1）由题意得……………………………………2分 解得……………………………………3分 （2）由（1）得 当时，函数为偶函数………………………………………………6分 当时，函数为非奇非偶函数………………………………………9分 （3）…………………………………10分 当时，函数在上单调递增，则………12分 当时，函数在上单调递减，则…………14分 综上，函数的最小值为。………………………………………………15分   略 22. （本小题14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， （1）求证：BN； （2）； （3）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP//平面CNB1 求 参考答案： 解：（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， ∴BA，BC，BB1两两垂直。                              ……………2分   以BA，BC，BB1分别为轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）