福建省龙岩市龙门中学2022年高三数学理测试题含解析

福建省龙岩市龙门中学2022年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（   ） A．               B．            C．                D． 参考答案： C 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个， 某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字， 任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为： p==． 故选：C．   2. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（   ）   A.             B.            C.           D. 参考答案： D 略 3. 圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　） A．﹣ B．﹣C． D．2 参考答案： A 【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式． 【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案． 【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1， 解得：a=， 故选：A． 【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档． 　 4. 已知圆的圆心是直线与轴的交点， 且圆与直线 相切，则圆的方程是 A．        B． C．        D． 参考答案： A   5. 直线与直线的位置关系是(    ) A.平行          B. 垂直          C. 相交但不垂直        D.重合 参考答案： A 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）   A.         B.　　　 C. 　　　  D. 参考答案： A 7. 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，AF的中点坐标为(2,2)，则C的方程为（    ） A． B． C． D．   参考答案： B 由抛物线，可得焦点为， 点A在曲线C上，AF的中点坐标为， 由中点公式可得，可得， 代入抛物线的方程可得，解得， 所以抛物线的方程为，故选B.   8. 已知z=2x+y，其中x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是 A.         B.         C.        D. 参考答案： D 9. 已知函数，则（     ）     A.1              B. 2             C. 3               D．4 参考答案： B 10. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（     ） A． 4        B．       C.         D． 参考答案： D 几何体为一个四棱锥,其中高为2,底面为边长为2的正方形,因此体积为 ,选D. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 　　　　     参考答案： 略 12. 已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________． 参考答案： 略 13. 在数列中，，，是数列的前项和，当不等式恒成立时，的所有可能取值为          . 参考答案： 或或 试题分析：由得，即，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，由，，所以 即，当时，该不等式不成立，当时有恒成立， 当时，，，这时，当时，，，这时或，当时，不成立，所以的所有可能取值为或或. 考点：1.数列的递推公式；2.等差数列的定义与求和公式；3.不等式恒成立问题. 【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等差数列的定义与求和公式、不等式恒成立问题，属难题；数列的递推公式一直是高考的重点内容，本题给出的递推公式非常复杂，很难看出其关系，但所要求的数列的和给出了我们解题思路，即在解题中强行构造数列是解题的关键，然后根据不等式恒成立分类讨论求解，体现的应用所学数学知识去解决问题的能力. 14. 已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______． 参考答案： 【分析】 不妨设 ，则，令，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果. 【详解】 作出函数图象如图所示， 由，可得， 即， 不妨设 ，则， 令，则， ，令，则， 当 时，，在上递增； 当时，，在上递减； 当时，取得最大值, 故答案为. 【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 15. 函数f(x)=的定义域为______________. 参考答案： 略 16. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的 极坐标方程为，过极点的一条直线与圆 相交于、两点，且，则          . 参考答案： 17. 已知集合，对于数列中. ①若三项数列满足，则这样的数列有________．个 ②若各项非零数列和新数列满足首项，（），且末项，记数列的前项和为，则的最大值为________． 参考答案： ①   ② 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC． （1）求证：直线BC1∥平面AB1D； （2）求三棱锥C1﹣ABB1的体积． 参考答案： （1）证明：由三棱柱ABC﹣A1B1C1可知：BCB1C1，又D是CB延长线上一点，且BD=BC，故BDB1C1，则四边形BDB1C1为平行四边形.故BC1∥DB1． 又平面AB1D 且平面AB1D 故BC1∥平面AB1D.……………………………………………………………………6分 （2）由A点向BC作垂线，垂足记为E点，则AEBC. 又AA1底面ABC，且AA1∥CC1．故CC1底面ABC. 则CC1AE.故点A到平面BB1C1的距离为AE. 又ABC是边长为3的正三角形，故AE= 则=………………………12分 19. 已知无穷数列的前项和为，且满足，其中、、是常数. （1）若，，，求数列的通项公式； （2）若，，，且，求数列的前项和； （3）试探究、、满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列. 参考答案：   略 20. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）． （1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E； （2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．   参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 【分析】（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进一步得到CD⊥B1E； （2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB． ∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA1⊥CD． 又∵AA1?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，AA1∩AB=A， ∴CD⊥平面ABB1A1． ∵点E在线段AA1上，∴B1E?平面ABB1A1， ∴CD⊥B1E； （2）解：当λ=时，． ∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1． ∴， ， ∴． 　 21. （14分） 如图， ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD， AB=4a，BC= CF=2a， P为AB的中点. （1）求证：平面PCF⊥平面PDE； （2）求四面体PCEF的体积. 参考答案： 证明： （1）因为ABCD为矩形，AB=2BC, P为AB的中点， 所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°.     …………………………2分 同理可证∠APD=45°. 所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.                       …………………………3分 又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE. ………………………4分  因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE .                  …………………………5分 又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE.  …………………………7分 【解】（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD， 所以DE//CF. 又DC⊥CF， 所以 ……………………… 10分 在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则 PQ//BC，PQ=BC=2a. 因为BC⊥CD，BC⊥CF， 所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF， 亦即P到平面PCEF的距离为PQ=2a.                  ………………………12分            ………………………14分 （注：本题亦可利用求得） 22. (选修4—2：矩阵与变换) 设矩阵（其中），若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲线，求的值．   参考答案： 略