中考数学二轮复习培优专题08 与反比例有关的面积问题（教师版）

专题08 与反比例有关的面积问题 1． 如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点B，则与的面积之差________． 【答案】3 【分析】妙解1：已知反比例函数的解析式为y=，根据系数k的代数意义，设函数图象上点B的坐标为(m，)再结合已知条件求解即可； 妙解2：利用反比例函数系数k的几何意义，围绕点B构造矩形求解即可； 妙解3：利用反比例函数系数k的几何意义，围绕点B构造直角三角形求解即可． 【详解】妙解1： 如图，设点C(n，0)，因为点B在反比例函数y=的图象上，所以设点B(m，)． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴点A的坐标为(n，n)，点D的坐标为(n，)， 由AD=BD，得n−=m−n，化简整理得m2−2mn=−6． ∴SΔOAC−SΔBAD=n2−(m−n)2=−m2+mn=−(m2−2mn)， 即S△OAC−SΔBAD=3． 妙解2： 如图，作轴于点F，延长交于点H，交y轴于点G，延长交x轴于点E． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积为6． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴，， ∴． 妙解3： 如图，作轴于点F，延长交于点H，连接． ∵点B在反比例函数的图象上， ∴的面积等于3． ∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形， ∴，，． ∵， ， 所以． 2．如图，矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形，若D、E是CO边上的三等分点，反比例函数刚好经过小矩形的顶点F、G，若图中的阴影矩形面积，则反比例系数k的值为__． 【答案】10 【分析】根据题意求得，进而即可根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值． 【详解】是CO边上的三等分点， ， ， 反比例函数刚好经过小矩形的顶点， ， 故答案为：10． 【我思故我在】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的面积，求得矩形OAGD的面积是关键． 3．如图，在x轴上有一点A(3，0)，点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若，的面积是24．则k的值是_________． 【答案】 【分析】作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，由S△ABD=BE•AD=24可得BE长度，根据△DCO∽△DBA，△OCF∽△ABE可得CF=BE=4，，用含k代数式表示OF，AE，进而求解． 【详解】解：作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F， ∵点D为点A关于y轴对称点， ∴D坐标为(-3，0)， ∴AD=6， ∵S△ABD=BE•AD=24， ∴BE=8， ∵OC∥AB， ∴△DCO∽△DBA， ∴，， ∵△OCF∽△ABE， ∴， ∴CF=BE=4， ∵B，C在图象上， ∴， ∵， ∴， 解得k=-8． 故答案为：-8． 【我思故我在】本题考查反比例函数与三角形的综合应用，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握相似三角形的判定与性质，通过添加辅助线求解． 4．如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交x轴于C点，且点B是AC的中点，则的面积=________． 【答案】12 【分析】作，设，即可表示的面积，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解． 【详解】解：作，设，， ， ， B点是AC中点， B点坐标， B点在反比例图像上， ， 又， ， ∴， 故答案是：． 【我思故我在】本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属于中档难度的题型．解题的关键是设而不解的方程思想．此外设有两点，则的中点坐标是：． 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，DB交x轴于点Q，轴，点C的坐标为(9，6)，反比例函数的图像经过A，P两点，则△OPQ的面积是______． 【答案】## 【分析】根据菱形的性质可得对角线与互相垂直且平分，再过点和点作轴的垂线，证明，根据相似三角形的性质求出，，再证明，求出，最后利用三角形的面积公式求出△OPQ的面积即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分， ， 经过原点，且反比例函数的图象恰好经过A，两点， 由反比例函数图象的对称性知： ， ， 过点和点作轴的垂线，垂足为和，如图所示： ∵轴，轴， ∴， ， ， 点的坐标为， ，， ，， ∴， ∵四边ABCD为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【我思故我在】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求出，，． 6．如图，过点作轴，轴，点，都在直线上，若反比例函数的图像与总有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】由已知点C与直线，则是确定的，故要考虑反比例函数图像与有公共点，分两个方面讨论：①反比例函数图像过点C或在点C上方；②反比例函数图像与直线有公共点；①、②两个方面同时满足，即可得解． 【详解】根据题意，若反比例函数的图像与总有公共点，则反比例函数的图像经过点C或在点C上方，且反比例函数图像与直线有公共点； ①当反比例函数的图像经过点C或在点C上方时，则， ； ②当反比例函数图像与直线有公共点时， 由消去y元整理得，一元二次方程有实数根， ， 由①②可知，k的取取值范围是． 故答案为：． 【我思故我在】此题考查了反比例函数的图像与点、直线的位置关系的问题，熟练运用方程组的思想与方法是解此题的关键． 7．如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B(0，2)，点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为_____． 【答案】20 【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB(AAS)，设BD＝a，则EF＝a，由点A(4，4)和点B(0，2)可得AE+OD＝4，求得，可得F(3，1)，进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C(0，﹣8)，即可求解． 【详解】解：∵点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等， ∴A(4，4)， 过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E， ∵，则△ABF为等腰直角三角形， ∴ 在△AEF与△FDB中 ∴△AEF≌△FDB(AAS)， 设BD＝a，则EF＝a， ∵点A(4，4)和点B(0，2)， ∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a， ∵AE+OD＝4， ∴4﹣a+2﹣a＝4， 解得a＝1， ∴F(3，1)， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得， ∴y＝3x﹣8， 令x＝0，则y＝﹣8， ∴C(0，﹣8)， ∴BC＝10， ∴20， 故答案为：20． 【我思故我在】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键． 8．如图，己知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交反比例函数的图象于点，过点作于点，过点作于点……，记的面积为，的面积为……，的面积为，则____________． 【答案】 【分析】由OA1=A1A2=A2A3=…=A6A7=1可知B1点的坐标为(1，)，B2点的坐标为(2，)，B3点的坐标为(3，)…B6点的坐标为(6，)，把x=1，x=2，x=3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S6的值，故可得出结论． 【详解】∵OA1=A1A2=A2A3=…= A6A7=1， ∴设B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…B6(6，y6)， ∵B1，B2，B3…B7在反比例函数y=(x＞0)的图象上， ∴，，， ； ； ， … ， ∴S1+S2+S3+…+S6==， 故答案为：． 【我思故我在】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 9．如图，点A为函数y＝(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为______. 【答案】6 【分析】作辅助线，根据反比例函数关系式得：S△AOD=, S△BOE=，再证明△BOE∽△AOD，由性质得OB与OA的比，由同高两三角形面积的比等于对应底边的比可以得出结论． 【详解】如图，分别作BE⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为点E、D， ∴BE∥AD， ∴△BOE∽△AOD， ∴， ∵OA=AC， ∴OD=DC， ∴S△AOD=S△ADC=S△AOC， ∵点A为函数y=(x＞0)的图象上一点， ∴S△AOD=， 同理得：S△BOE=， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为6． 10．点P，Q，R在反比例函数(常数k＞0，x＞0)图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1＋S3＝27，则S2的值为_______． 【答案】 【分析】利用反比例函数系数的几何意义，及OE＝ED＝DC求解，然后利用列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意知：矩形的面积 同理：矩形，矩形的面积都为， 故答案为： 【我思故我在】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B均在函数(x＞0)的图象上，点C在y轴正半轴上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若点B的横坐标是点A横坐标的2倍，则△ABC的面积为 _____． 【分析】过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，设点A的坐标为 ，C(0，c)，则B，可证△CAM≌△BCN，根据全等三角形的性质得出a、c的方程组，求得a、c，由勾股定理可求AC的长，即可求△ABC的面积． 【详解】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N， 设点A的坐标为，C(0，c)，则B， ∴AM＝a，BN＝2a，OC＝c，CM＝，CN＝， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAM+∠ACM＝90°，∠ACM+∠BCN＝90°， ∴∠CAM＝∠BCN， ∵∠CMA＝∠BNC＝90°， ∴△CAM≌△BCN(AAS)， ∴CM＝BN，AM＝CN， 即， 解得或(舍)， ∴AM＝1，CM＝3， ∴， ∴． 故答案为：2.5 【我思故我在】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是本题的关键． 12．如图，和均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线上，连接交于P，连接，则图中是_________ 【答案】8 【分析】先根据和均为正三角形可知，故可得出，所以，过点B作于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， 过点B作于点E，则， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故答案为：8． 【我思故我在】本题考查的是反比例函数，等边三角形的性质及反比例函数系数k的几何意义等知识，综合运用以上知识是解题的关键． 13．如图，若点M是x轴正半轴上一点，过点M作轴，分别交函数和函数的