高考数学二轮复习专题03 复数问题(教师版)

专题03　复数问题 【高考真题】 1．(2022·全国乙理) 已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－2　　　B．a＝－1，b＝2　　　C．a＝1，b＝2　　　D．a＝－1，b＝－2 1．答案　A　解析　＝1＋2i，z＋a＋b＝1－2i＋a(1＋2i)＋b＝(1＋a＋b)＋(2a－2i)i，由z＋a＋b ＝0，得a＝1，b＝－2，故选A． 2．(2022·全国乙文) 设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　) A．a＝1，b＝－1　　　B．a＝1，b＝1　　　C．a＝－1，b＝1　　　D．a＝－1，b＝－1 2．答案　A　解析　因为a，b为实数，(a＋b)＋2ai＝2i，所以a＋b＝0，2a＝0，解得，a＝1，b＝－1． 故选A． 3．(2022·全国甲理) 若z＝－1＋i，则＝(　　) A．－1＋i　　　B．－1－i　　　C．－＋i　　　　　D．－－i 3．答案　C　解析　＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝4，＝＝－＋i．故选C． 4．(2022·全国甲文) 若z＝1＋i．则|iz＋3|＝(　　) A．4　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．2 4．答案　D　解析　因为z＝1＋i．所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝2．故选D． 5．(2022·新高考Ⅰ) 若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．2 5．答案　D　解析　由题设有1－z＝＝－i，所以z＝1＋i，故z＋＝2，故选D． 6．(2022·新高考Ⅱ) (2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i　　　　　　B．－2－4i　　　　　　C．6＋2i　　　　　　D．6－2i 6．答案　D　解析　(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i，故选D． 7．(2022·北京) 若复数z满足iz＝3－4i＝，则|z|＝(　　) A．1　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．7　　　　　　　　D．25 7．答案　B　解析　由题意有z＝＝1＋i，故|z|＝＝5．故选B． 8．(2022·浙江)已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i) i(i为虚数单位)，则(　　) A．a＝1，b＝－3　　　B．a＝－1，b＝3　　　C．a＝－1，b＝－3　　　D．a＝1，b＝3 8．答案　B　解析　a＋3i＝－1＋bi，而a，b为实数，故a＝－1，b＝3，故选B． 【知识总结】 1．复数的相关概念及运算法则 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类 ①z是实数⇔b＝0；②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)共轭复数 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数＝a－bi. (3)复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝. (4)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)． (5)复数的运算法则 加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i； 乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； 除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)． 2．复数的几个常见结论 (1)(1±i)2＝±2i. (2)＝i，＝－i. (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)． 【同类问题】 题型一　复数的概念 1．(2021·浙江)已知a∈R，(1＋ai)i＝3＋i(i为虚数单位)，则a等于(　　) A．－1　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．－3　　　　　　　　D．3 1．答案　C　解析　方法一　因为(1＋ai)i＝－a＋i＝3＋i，所以－a＝3，解得a＝－3． 方法二　因为(1＋ai)i＝3＋i，所以1＋ai＝＝1－3i，所以a＝－3． 2．(2020·全国Ⅲ)若(1＋i)＝1－i，则z等于(　　) A．1－i　　　　　B．1＋i　　　　　C．－i　　　　　　D．i 2．答案　D　解析　因为＝＝＝－i，所以z＝i． 3．若复数z满足＝1－i，则复数的虚部为(　　) A．i　　　　　　　　B．－i　　　　　　　　C．1　　　　　　　　D．－1 3．答案　C　解析　∵＝1－i，∴z(1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)，∴z(1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z＝2－i， ∴＝2＋i，∴的虚部为1． 4．(2020·全国Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|等于(　　) A．0　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．2 4．答案　D　解析　方法一　z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2． 方法二　|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i|·|－1＋i|＝2． 5．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为(　　) A．2＋i　　　　　B．2－i　　　　　C．1＋2i　　　　　D．1－2i 5．答案　B　解析　由＝1－yi，得＝1－yi，即－i＝1－yi，∴解得x ＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i． 6．(2021·上海)已知z＝1－3i，则|－i|＝________． 6．答案　　解析　∵z＝1－3i，∴＝1＋3i，∴－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|－i|＝＝． 7．如果复数(b∈R)的实部与虚部相等，那么b＝(　　) A．－2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．4 7．答案　A　解析　＝＝b－2i，所以实部为b，虚部为－2，故b的值为－2，故选 A． 8．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为________． 8．答案　－1　解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1． 9．(多选)若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　) A．z的虚部为－1　　　B．|z|＝　　　C．z2为纯虚数　　　D．z的共轭复数为－1－i 9．答案　ABC　解析　z＝＝＝＝1－i，对于A，z的虚部为－1，正确；对于 B，模长|z|＝，正确；对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；对于D，z的共轭复数为1＋i，错误． 10．(多选)(2022·武汉模拟)下列说法正确的是(　　) A．若|z|＝2，则z·＝4 B．若复数z1，z2满足|z1＋z2|＝|z1－z2|，则z1z2＝0 C．若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等 D．“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件 10．答案　AD　解析　若|z|＝2，则z·＝|z|2＝4，故A正确；设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2， b2∈R)，由|z1＋z2|＝|z1－z2|，可得|z1＋z2|2＝(a1＋a2)2＋(b1＋b2)2＝|z1－z2|2＝(a1－a2)2＋(b1－b2)2则a1a2＋b1b2＝0，而z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝a1a2－b1b2＋a1b2i＋b1a2i＝2a1a2＋a1b2i＋b1a2i不一定为0，故B错误；当z＝1－i时，z2＝－2i为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C错误；若复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数，则a2－1≠0，即a≠±1，所以“a≠1”是“复数z＝(a－1)＋(a2－1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件，故D正确． 题型二　复数的四则运算 11．(2021·新高考全国Ⅰ)已知z＝2－i，则z(＋i)等于(　　) A．6－2i　　　　　　B．4－2i　　　　　　C．6＋2i　　　　　　D．4＋2i 11．答案　C　解析　因为z＝2－i，所以z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i． 12．(2021·北京)在复平面内，复数z满足(1－i)·z＝2，则z＝(　　) A．1　　　　　　　　B．i　　　　　　　　C．1－i　　　　　　　　D．1＋i 12．答案　D　解析　由题意可得z＝＝＝1＋i． 13．(2020·新高考全国Ⅰ)等于(　　) A．1　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　C．i　　　　　　　　D．－i 13．答案　D　解析　＝＝＝－i． 14．(2021·全国乙)设iz＝4＋3i，则z等于(　　) A．－3－4i　　　　　B．－3＋4i　　　　　C．3－4i　　　　　D．3＋4i 14．答案　C　解析　方法一　(转化为复数除法运算)因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝ ＝3－4i． 方法二　(利用复数的代数形式)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以即所以z＝3－4i． 方法三　(巧用同乘技巧)因为iz＝4＋3i，所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，所以z＝3－4i． 15．(2021·全国乙)设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z＝(　　) A．1－2i　　　　　　B．1＋2i　　　　　　C．1＋i　　　　　　D．1－i 15．答案　C　解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝ 4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i． 16．(2021·全国甲)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　) A．－1－i　　　　　　B．－1＋i　　　　　　C．－＋i　　　　　　D．－－i 16．答案　B　解析　z＝＝＝＝－1＋i． 17．(多选)(2022·湛江一模)若复数z＝－i，则(　　) A．|z|＝2　　　　B．|z|＝4　　　　C．z的共轭复数＝＋i　　　　D．z2＝4－2i 17．答案　AC　解析　依题意得|z|＝＝2，故A正确，B错误；＝＋i，C正确； z2＝(－i)2＝3－2i＋i2＝2－2i，D错误． 18．若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝________． 18．答案　－i　解析　∵z为纯虚数，∴∴a＝，∴＝＝ ＝＝－i． 19．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且＝3＋2i，则a＝________，b＝________． 19．答案　5　1　解析　由z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则＝a－bi，所以＝(a－bi)＝ ＋i＝3＋2i，故＝3，＝2，所以a＝5，b＝1． 20．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是(　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3　　　　　　　　　　B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|　　　　　　　　D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 20．答案　BC　解析　由|i|＝|1|，知A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故B正 确；|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，又2＝z3，所以|z2|＝|2|＝|z3|，故C正确，令z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故D错误． 题型三　复数的几何意义 21．(2021·新高考全国Ⅱ)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限　　　　B．第二象限　　　　C．第三象限　　　　D．第四象限 21．答案　A　解析　＝＝＝，所以该复数在复平面内对应的点为，该点 在第一象限． 22．已知i是虚数单位，则复数z＝i2 0