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专题03 复数问题
【高考真题】
1.(2022·全国乙理) 已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
1.答案 A 解析 =1+2i,z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2i)i,由z+a+b
=0,得a=1,b=-2,故选A.
2.(2022·全国乙文) 设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则( )
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
2.答案 A 解析 因为a,b为实数,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=0,解得,a=1,b=-1.
故选A.
3.(2022·全国甲理) 若z=-1+i,则=( )
A.-1+i B.-1-i C.-+i D.--i
3.答案 C 解析 =-1-i,z=(-1+i)(-1-i)=4,==-+i.故选C.
4.(2022·全国甲文) 若z=1+i.则|iz+3|=( )
A.4 B.4 C.2 D.2
4.答案 D 解析 因为z=1+i.所以iz+3=i(1+i)+3(1-i)=2-2i,所以|iz+3|=2.故选D.
5.(2022·新高考Ⅰ) 若i(1-z)=1,则z+=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5.答案 D 解析 由题设有1-z==-i,所以z=1+i,故z+=2,故选D.
6.(2022·新高考Ⅱ) (2+2i)(1-2i)=( )
A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i
6.答案 D 解析 (2+2i)(1-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,故选D.
7.(2022·北京) 若复数z满足iz=3-4i=,则|z|=( )
A.1 B.5 C.7 D.25
7.答案 B 解析 由题意有z==1+i,故|z|==5.故选B.
8.(2022·浙江)已知a,b∈R,a+3i=(b+i) i(i为虚数单位),则( )
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
8.答案 B 解析 a+3i=-1+bi,而a,b为实数,故a=-1,b=3,故选B.
【知识总结】
1.复数的相关概念及运算法则
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的分类
①z是实数⇔b=0;②z是虚数⇔b≠0;③z是纯虚数⇔a=0且b≠0.
(2)共轭复数
复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数=a-bi.
(3)复数的模
复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=.
(4)复数相等的充要条件
a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
特别地,a+bi=0⇔a=0且b=0(a,b∈R).
(5)复数的运算法则
加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;
乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
除法:(a+bi)÷(c+di)=+i(c+di≠0).
2.复数的几个常见结论
(1)(1±i)2=±2i.
(2)=i,=-i.
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈Z).
【同类问题】
题型一 复数的概念
1.(2021·浙江)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a等于( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
1.答案 C 解析 方法一 因为(1+ai)i=-a+i=3+i,所以-a=3,解得a=-3.
方法二 因为(1+ai)i=3+i,所以1+ai==1-3i,所以a=-3.
2.(2020·全国Ⅲ)若(1+i)=1-i,则z等于( )
A.1-i B.1+i C.-i D.i
2.答案 D 解析 因为===-i,所以z=i.
3.若复数z满足=1-i,则复数的虚部为( )
A.i B.-i C.1 D.-1
3.答案 C 解析 ∵=1-i,∴z(1+i)(-i)=(2-i)(1-i),∴z(1-i)=(2-i)(1-i),∴z=2-i,
∴=2+i,∴的虚部为1.
4.(2020·全国Ⅰ)若z=1+i,则|z2-2z|等于( )
A.0 B.1 C. D.2
4.答案 D 解析 方法一 z2-2z=(1+i)2-2(1+i)=-2,|z2-2z|=|-2|=2.
方法二 |z2-2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|(1+i)(-1+i)|=|1+i|·|-1+i|=2.
5.已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为( )
A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i
5.答案 B 解析 由=1-yi,得=1-yi,即-i=1-yi,∴解得x
=2,y=1,∴x+yi=2+i,∴其共轭复数为2-i.
6.(2021·上海)已知z=1-3i,则|-i|=________.
6.答案 解析 ∵z=1-3i,∴=1+3i,∴-i=1+3i-i=1+2i,∴|-i|==.
7.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b=( )
A.-2 B.1 C.2 D.4
7.答案 A 解析 ==b-2i,所以实部为b,虚部为-2,故b的值为-2,故选
A.
8.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为________.
8.答案 -1 解析 ∵z为纯虚数,∴∴x=-1.
9.(多选)若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是( )
A.z的虚部为-1 B.|z|= C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为-1-i
9.答案 ABC 解析 z====1-i,对于A,z的虚部为-1,正确;对于
B,模长|z|=,正确;对于C,因为z2=(1-i)2=-2i,故z2为纯虚数,正确;对于D,z的共轭复数为1+i,错误.
10.(多选)(2022·武汉模拟)下列说法正确的是( )
A.若|z|=2,则z·=4
B.若复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1z2=0
C.若复数z的平方是纯虚数,则复数z的实部和虚部相等
D.“a≠1”是“复数z=(a-1)+(a2-1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件
10.答案 AD 解析 若|z|=2,则z·=|z|2=4,故A正确;设z1=a1+b1i(a1,b1∈R),z2=a2+b2i(a2,
b2∈R),由|z1+z2|=|z1-z2|,可得|z1+z2|2=(a1+a2)2+(b1+b2)2=|z1-z2|2=(a1-a2)2+(b1-b2)2则a1a2+b1b2=0,而z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=a1a2-b1b2+a1b2i+b1a2i=2a1a2+a1b2i+b1a2i不一定为0,故B错误;当z=1-i时,z2=-2i为纯虚数,其实部和虚部不相等,故C错误;若复数z=(a-1)+(a2-1)i(a∈R)是虚数,则a2-1≠0,即a≠±1,所以“a≠1”是“复数z=(a-1)+(a2-1)i(a∈R)是虚数”的必要不充分条件,故D正确.
题型二 复数的四则运算
11.(2021·新高考全国Ⅰ)已知z=2-i,则z(+i)等于( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
11.答案 C 解析 因为z=2-i,所以z(+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.
12.(2021·北京)在复平面内,复数z满足(1-i)·z=2,则z=( )
A.1 B.i C.1-i D.1+i
12.答案 D 解析 由题意可得z===1+i.
13.(2020·新高考全国Ⅰ)等于( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
13.答案 D 解析 ===-i.
14.(2021·全国乙)设iz=4+3i,则z等于( )
A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i
14.答案 C 解析 方法一 (转化为复数除法运算)因为iz=4+3i,所以z===
=3-4i.
方法二 (利用复数的代数形式)设z=a+bi(a,b∈R),则由iz=4+3i,可得i(a+bi)=4+3i,即-b+ai=4+3i,所以即所以z=3-4i.
方法三 (巧用同乘技巧)因为iz=4+3i,所以iz·i=(4+3i)·i,所以-z=4i-3,所以z=3-4i.
15.(2021·全国乙)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z=( )
A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i
15.答案 C 解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,可得4a+6bi=
4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.
16.(2021·全国甲)已知(1-i)2z=3+2i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i C.-+i D.--i
16.答案 B 解析 z====-1+i.
17.(多选)(2022·湛江一模)若复数z=-i,则( )
A.|z|=2 B.|z|=4 C.z的共轭复数=+i D.z2=4-2i
17.答案 AC 解析 依题意得|z|==2,故A正确,B错误;=+i,C正确;
z2=(-i)2=3-2i+i2=2-2i,D错误.
18.若z=(a-)+ai为纯虚数,其中a∈R,则=________.
18.答案 -i 解析 ∵z为纯虚数,∴∴a=,∴==
==-i.
19.已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且=3+2i,则a=________,b=________.
19.答案 5 1 解析 由z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则=a-bi,所以=(a-bi)=
+i=3+2i,故=3,=2,所以a=5,b=1.
20.(多选)设z1,z2,z3为复数,z1≠0.下列命题中正确的是( )
A.若|z2|=|z3|,则z2=±z3 B.若z1z2=z1z3,则z2=z3
C.若2=z3,则|z1z2|=|z1z3| D.若z1z2=|z1|2,则z1=z2
20.答案 BC 解析 由|i|=|1|,知A错误;z1z2=z1z3,则z1(z2-z3)=0,又z1≠0,所以z2=z3,故B正
确;|z1z2|=|z1||z2|,|z1z3|=|z1||z3|,又2=z3,所以|z2|=|2|=|z3|,故C正确,令z1=i,z2=-i,满足z1z2=|z1|2,不满足z1=z2,故D错误.
题型三 复数的几何意义
21.(2021·新高考全国Ⅱ)复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
21.答案 A 解析 ===,所以该复数在复平面内对应的点为,该点
在第一象限.
22.已知i是虚数单位,则复数z=i2 0
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