高考数学二轮复习专题15 立体几何中球的问题(教师版)

专题15　立体几何中球的问题 【高考真题】 1．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为(　　) A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D． 1．答案　A　解析　设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即 ，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选A． 2．(2022·全国乙理) 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当 该四棱锥的体积最大时，其高为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 2．答案　C　解析　设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD 对角线夹角为，则(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，又，则当且仅当即时等号成立，故选C． 3．(2022·新高考Ⅰ) 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤3，则该正四棱锥体积的取值范围是(　　) A．[18，]　　　　　B．[，]　　　　　C．[，]　　　　　D．[18，27] 3．答案　C　解析　∵ 球的体积为36π，所以球的半径R＝3，设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则 l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h)2．所以6h＝l2，2a2＝l2－h2，所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×4a2×h＝×(l2－)×＝(l4－)，所以V′＝(4l3－)＝l3 ()，当3≤l≤2时，V′＞0，当2≤l≤3时，V′＜0，所以当l＝2时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为，又l＝3时，V＝，l＝3时， V＝．所以正四棱锥的体积V的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是[，]．故选C． 【方法总结】 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． 球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径． 空间几何体的外接球与内切球十大模型 1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型． 可参考：侯永青工作室《2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破》 【题型突破】 1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的 表面积为(　　) A．7π　　　　　　　B．14π　　　　　　　C．π　　　　　　　D． 1．答案　B　解析　三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角 线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是＝，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π×＝14π． 2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿BC边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则三棱 锥B－ACD的外接球的表面积为(　　) A．5π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．10π　　　　　　　　D．34π 2．答案　D　解析　依题意，在三棱锥B－ACD中，AD，BD，CD两两垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3， 因此可将三棱锥B­ACD补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R＝＝，故三棱锥B－ACD的外接球的表面积为4πR2＝34π 3．已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体 积等于________. 3．答案　π　解析　如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R， 则正方体的体对角线长即为球O的直径．∴CD＝＝2R，因此R＝，故球O的体积V＝＝π. 4．已知四面体P－ABC四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB ＝2，则球O的表面积为________． 4．答案　9π　解析　　由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，可得图中四个直角三角形，且PC为△PBC，△PAC 的公共斜边，故球心O为PC的中点，由AC＝1，AB＝PB＝2，PC＝3，∴球O的半径为，其表面积为9π. 5．三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱锥P－ABC的外接球的体 积为(　　) A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．27π　　　　　　　　D．27π 5．答案　B　解析　因为三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC ≌△PAC．因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P－ABC的外接球．因为正方体的体对角线长为＝3，所以其外接球半径R＝．因此三棱锥P－ABC的外接球的体积V＝×＝π，故选B． 6．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为________． 6．答案　16　解析　将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，设正四面体ABCD 的外接球的半径为R，则πR3＝8π，解得R＝，因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有a＝2R＝2，所以a＝2．而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD的棱长为a＝4，因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝16． 7．表面积为的正四面体的外接球的表面积为　　 A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D． 7．答案　B　解析　表面积为的正四面体的棱长为，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为，正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，外接球的表面积的值为． 8．已知四面体ABCD满足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是 ________． 8．答案　7π　解析　在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE．∵AC＝AD＝BC＝BD ＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝．同理BE＝，取AB的中点为F，连接EF．由AE＝BE，得EF⊥AB．在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1，取EF的中点为O，连接OA，则OF＝．在Rt△OFA中，OA＝．同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是，∴外接球的表面积是7π． 9．三棱锥中S－ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝．则三棱锥的外接球的表面积为______. 9．答案　14π　解析　如图，在长方体中，设AE＝a，BE＝b，CE＝c．则SC＝AB＝＝，SA ＝BC＝＝，SB＝AC＝＝，从而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π． 10．已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC ＝BD＝，则a＝________. 10．答案　2　解析　由题意可知，四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长 方体，如图所示．设AF＝x，BF＝y，CF＝z，则＝＝，又4π×2＝9π，可得x＝y＝2，∴a＝＝2． 11．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．π 11．答案　A　解析　由题知此直棱柱为正三棱柱ABC－A1B1C1，设其上下底面中心为O′，O1，则外接球 的球心O为线段O′O1的中点，∵AB＝2，∴O′A＝AB＝，OO′＝O′O1＝1，∴OA＝＝，因此，它的外接球的半径为，故球O的表面积为．故选A． 12．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该 六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________. 12．答案　　解析　设正六棱柱底面边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，则a＝，底 面积为S＝6··＝，V柱＝Sh＝h＝，∴h＝，R2＝＋＝1，R＝1，球的体积为V＝. 13．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面积为，一个侧面的周长为6，则正三棱柱ABC－A1B1C1外 接球的表面积为(　　) A．4π　　　　　　　　B．8π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　D．32π 13．答案　C　解析　如图所示，设底面边长为a，则底面面积为a2＝，所以a＝.又一个侧面的 周长为6，所以AA1＝2.设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABC­A1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE＝，A1E＝××＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半径R＝2，所以外接球的表面积S＝4πR2＝16π，故选C． 14．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1 ＝2，则该三棱柱的外接球的体积为(　　) A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．20π 14．答案　B　解析　设△A1B1C1的外心为O1，△ABC的外心为O2，连接O1O2，O2B，OB，如图所示． 由题意可得外接球的球心O为O1O2的中点．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以BC＝，由正弦定理可得△ABC外接圆的直径2r＝2O2B＝＝，所以r＝＝，而球心O到截面ABC的距离d＝OO2＝AA1＝1，设直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半径为R，由球的截面性质可得R2＝d2＋r2＝12＋2＝，故R＝，所以该三棱柱的外接球的体积为V＝R3＝．故选B． 15．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD沿EF折起，使二 面角A－EF－C的大小为120°，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为(　　) A．6π　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　C．4π　　　　　　　　D．3π 15．答案　B　解析　其中O1，O2分别为正方形AEFD和BCFE的中心，OO1，OO2分别垂直于这两个平 面．由于∠OGO2＝60°，O2G＝，所以OO2＝，而O2C＝CE＝，所以球的半径OC＝＝，所以球的表面积为4π·OC2＝5π．故选B． 16．三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，则该三棱锥外接球的表面积为(　　) A．18π　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．21π　　　　　　　　D．42π 16．答案　C　解析　由于