2022年江苏省苏州市石牌中学高一数学理期末试题含解析

2022年江苏省苏州市石牌中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的值域是 A．R      B．[4,32]         C．[2,32]      D． 参考答案： C 略 2. 已知为第三象限角，则下列判断正确的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据为第三象限角，先判断，的符号，再选择. 【详解】因为为第三象限角， 所以，， 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题. 3. 四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，则直线PB与平面PAC所成角为（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 连接交于点，连接，证明平面，进而可得到即是直线与平面所成角，根据题中数据即可求出结果. 【详解】连接交于点， 因为平面，底面是正方形， 所以，，因此平面；故平面； 连接，则即是直线与平面所成角， 又因，所以，. 所以，所以. 故选A 【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型. 4. 设等于     A． B．      C．       D. 参考答案： D 5. 下列各个对应中,构成映射的是（      ）    参考答案： B 略 6. 已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域(     ) A． B．[﹣1，4] C．[﹣5，5] D．[﹣3，7] 参考答案： A 【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据题目给出的函数y=f（x+1）定义域，求出函数y=f（x）的定义域，然后由2x﹣1在f（x）的定义域内求解x即可得到函数y=f（2x﹣1）定义域 【解答】解：解：∵函数y=f（x+1）定义域为[﹣2，3]， ∴x∈[﹣2，3]，则x+1∈[﹣1，4]， 即函数f（x）的定义域为[﹣1，4]， 再由﹣1≤2x﹣1≤4，得：0≤x≤， ∴函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，]． 故选A． 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数y=f（x）的定义域为[a，b]，求解y=f[g（x）]的定义域，只要让g（x）∈[a，b]，求解x即可． 7. 现用系统抽样方法从已编号（1﹣60）的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是（　　） A．5，10，15，20，25，30 B．2，4，8，16，32，48 C．5，15，25，35，45，55 D．1，12，34，47，51，60 参考答案： C 【考点】系统抽样方法． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的． 【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚， 采用系统抽样间隔应为=10， 只有C答案中导弹的编号间隔为10， 故选：C． 【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本． 8. 已知在△ABC中，，且，则的值为（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 先确定D位置，根据向量的三角形法则，将用，表示出来得到答案. 【详解】 故答案选C 【点睛】本题考查了向量的加减，没有注意向量方向是容易犯的错误. 9. （5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦值为（）   A． B． C． D． 参考答案： D 考点： 棱柱的结构特征． 专题： 空间角． 分析： 找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值． 解答： 连接BD，； ∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影， ∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角； 设AB=1，则BD=，BD1=， ∴cos∠DBD1===； 故选：D． 点评： 本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题． 10. 的值为                    A.        B.             C.            D. 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列，都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且，则=__________.（用最简分数做答） 参考答案： 12. 给出下列命题： ①已知集合M满足??M?{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有6个； ②已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（﹣12，0）； ③函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，2）； ④已知函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3﹣t），则f（1）＞f（4）＞f（3）． 其中正确的命题序号是        （写出所有正确命题的序号） 参考答案： ①④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】①，依题意，可例举出样的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6个，可判断①； ②，通过对a=0与a≠0的讨论，可求得实数a的取值范围是（﹣12，0]，可判断②； ③，利用对数型函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，1）可判断③； ④，利用二次函数的对称性与单调性可判断④． 【解答】解：对于①，∵集合M满足??M?{1，2，3}，且M中至少有一个奇数，这样的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6个，故①正确； 对于②，∵函数f（x）=的定义域是R， ∴当a=0时，f（x）=，其定义域是R，符合题意； 当a≠0时，或，解得a∈（﹣12，0）； 综上所述，实数a的取值范围是（﹣12，0]，故②错误； 对于③，函数f（x）=loga（x﹣3）+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（4，1），故③错误； 对于④，∵函数f（x）=x2+bx+c对任意实数t都有f（3+t）=f（3﹣t）， ∴函数f（x）=x2+bx+c的对称轴为x=3，f（x）在[3，+∞）上单调递增， ∴f（1）=f（5）＞f（4）＞f（3），故④正确． 故答案为；①④． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数与二次函数的对称性、单调性、恒过定点等性质，考查恒成立问题与集合间的关系，考查转化思想． 13. （5分）已知正三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=PC=1，且PA，PB，PC两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为          ． 参考答案： 3π 考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．[来源:学科网ZXXK] 解答： 解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图 则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球． ∵长方体的对角线长为， ∴球半径R=， 因此，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是4πR2=4π×（）2=3π 故答案为：3π． 点评： 本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题． 14. （本小题10分）求函数的单调增区间。 参考答案： 略 15. 集合，若，则的值为_______. 参考答案： 3 16. 已知等比数列{an}满足,则的最小值是 . 参考答案： ， .   17. 圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为　　． 参考答案： 【考点】扇形面积公式． 【分析】根据扇形的周长求出半径r，再根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：设该扇形的半径为r， 根据题意，有l=αr+2r， ∴3=2r+2r， ∴r=， ∴S扇形=αr2=×2×=． 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分)已知,且是方程的两根. ①求的值.      ②求的值. 参考答案： 解：①. 由根与系数的关系得： ② 由（1）得 由（2）得 略 19. 已知函数f（x）=为奇函数． （1）求实数a的值； （2）试判断函数的单调性并加以证明； （3）对任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题． 【专题】证明题；综合题；函数思想；函数的性质及应用． 【分析】（1）解f（0）=0可得a值； （2）由单调性的定义可得； （3）由（1）（2）可得函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1，可得m≥1． 【解答】解：（1）由函数为奇函数可得f（0）==0，解得a=﹣1； （2）由（1）可得f（x）===1﹣， 可得函数在R上单调递增，下面证明： 任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2） =﹣=＜0， ∴函数f（x）=R上的增函数； （3）∵函数f（x）为增函数，当x趋向于正无穷大时，f（x）趋向于1， 要使不等式f（x）＜m恒成立，则需m≥1 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性以及恒成立问题，属中档题． 20. （本小题满分13分） 已知函数 （Ⅰ）求函数在（1, ）的切线方程 （Ⅱ）求函数的极值 （Ⅲ）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线，则称为弦的陪伴切线． 已知两点，试求弦的陪伴切线的方程； 参考答案： 解：（I）略…………………………………(4分) （Ⅱ）．                ………(6分)   得．         当变化时，与变化情况如下表：   1 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增          当x=1时，取得极小值．    没有极大值．……………(9分) （Ⅲ）设切点，则切线的斜率为．      弦AB的斜率为． …(10分) 由已知得，，则=，解得，……(12分) 所以，弦的伴随切线的方程为：．……(13分) 略 21. (实验班做) 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值. （2）已知不等式恒成立, 求实数的取值范围. 参考答案： （1）因为f (x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x),令x=0,则f(0)=0 即，所以 （2）因是奇函数，从而不等式： 等价于，         因为减函数 由上式推得：，故：当； 当  ,  综上知 22. 已知集合. （1）若从集合A中任取两个不同的角，求至少有一个角为钝角的概率； （2）记，求从集合A中任取一个角作为的值，且使用关于x的一元二次方程有解的概率. 参考答案： 解：（1）； （2）方程有解， 即． 又， ∴， 即．  即， 不难得出：若为锐角，；若为钝角