安徽省宣城市郎溪县毕桥中学2022年高三数学理测试题含解析

安徽省宣城市郎溪县毕桥中学2022年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是(    ) 参考答案： C 2. 若x∈(－∞，1)，则函数y＝有(　　) A．最小值1                                                    B．最大值1 C．最大值－1                                                 D．最小值－1 参考答案： C 略 3. 已知函数，定义函数 给出下列命题： ①； ②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是 A． ②      　B．①③           　C．②③       D．①② 参考答案： C 4. 已知圆锥的母线长为1，那么该圆锥体积的最大值为 （A）   （B）    （C）    （D） 参考答案： A 5. 已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=( )      A.        B.        C.         D. 参考答案： B 6. 直线与曲线围成的封闭图形的面积是（   ）   A．1 B． C．2 D．4 参考答案： C 考点：积分 试题解析：因为如图，所求为 故答案为：C 7. 已知平面向量，，且，则（   ） （A）                   （B）                     （C）5              （D） 参考答案： D 试题分析：由得，， ，故选D. 考点：向量的线性运算；向量的数量积. 8. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A．3         B．2       C．1       D．0 参考答案： B 9. 如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积是，则该几何体的俯视图可以是 参考答案： C 若俯视图为A,则几何体为边长为1的正方体，所以体积为1，不满足条件；若为B,则该几何体为底面直径为1，高为1的圆柱，此时体积为，不满足条件；若为D, 几何体为底面半径为1，高为1的圆柱的部分，此时体积为，不满足条件，若为C，该几何体为底面是直角三角形且两直角边为1，高为1的三棱柱，所以体积为，满足条件，所以选C.   10. 将一个白球，两个相同的红球，三个相同的黄球摆放成一排。则白球与黄球不相邻的放法有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 定义:对于区间,则为区间长度.若关于的不等式的解集是一些区间的并集，且这些区间长度的和不小于4，则实数的取值范围是      . 参考答案： 略 12. 若一个球的体积为，则它的表面积为　　． 参考答案： 12π 【考点】球的体积和表面积． 【分析】有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可． 【解答】解：由得，所以S=4πR2=12π． 13. 参考答案： f 3(x) w.w.w.k 14. 设为实常数,是定义在上的奇函数,当时,, 若对一切成立,则的取值范围为________. 参考答案： 15. 已知e为自然对数的底数，函数f（x）=ex﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=    ． 参考答案： 2 【考点】导数的运算． 【分析】由已知函数解析式，令函数g（x）=f（x）﹣1，可知函数g（x）为奇函数，求导后判断g′（x）=f′（x）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f（e）+f（﹣e）=2，f′（e）﹣f′（﹣e）=0，由此求得f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2． 【解答】解：f（x）=ex﹣e﹣x+ln（+x）+1， 令g（x）=f（x）﹣1=ex﹣e﹣x+ln（+x）， 则g（﹣x）=f（﹣x）﹣1=， g（x）+g（﹣x）=0，故g（x）为奇函数， g′（x）=f′（x）==， 由g′（x）﹣g′（﹣x）=﹣， 可知g′（x）=f′（x）为偶函数， g（e）+g（﹣e）=f（e）﹣1+f（﹣e）﹣1=0， ∴f（e）+f（﹣e）=2． 又f′（e）=f′（﹣e）， ∴f′（e）﹣f′（﹣e）=0， ∴f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=2． 故答案为：2． 16. 曲线在交点处切线的夹角是______（用度数作答） 参考答案： 略 17. 已知函数f（x）=cos2x，若将其图象沿x轴向左平移a个单位（a＞0），所得图线关于原点对称，则实数a的最小值为　　． 参考答案：   【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的对称性可得结论． 【解答】解：将函数f（x）=cos2x图象沿x轴向左平移a个单位（a＞0）， 所得函数解析式为：y=cos（2x+2a）， 由于所得图象关于原点对称， 所以：2a=kπ+，k∈Z，解得：a=+，k∈Z，a＞0， 所以：实数a的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 数列满足 ( 1 ) 证明：数列是等差数列； ( 2 ) 设，求数列的前项和   参考答案： （1）见解析；（2）   知识点：数列的求和；等差关系的确定 解析：（1）证：由已知可得，     ……………3分                       即       ……………4分 所以是以为首项，1为公差的等差数列  ……………6分 （2）解：由（Ⅰ）得，所以    ……………7分 从而                     ……………8分                 ①          ②    ……………9分 ①-②得     ……………10分            ……………11分 所以           ……………12分 【思路点拨】（1）变形利用等差数列的通项公式即可得出．（2）“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．   19. 已知函数． （1）当f'（1）=0时，求实数的m值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）讨论函数f（x）的单调性． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求导，由f'（1）=0，求得的值，利用点斜式方程，即可求得切线方程； （2）求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论m的取值范围，分别求得f（x）单调区间． 【解答】解：（1）函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）， 求导， 由f'（1）=0，解得m=﹣1 从而f（1）=﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣1．　　 （2）由， 当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞） 当m＜0时，由，得，或， 当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）； 当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间． 当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣） 综上可知：当m≥0时，函数y=f（x）的减区间为（0，），增区间为（，+∞）； 当m＜﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，﹣）和（，+∞）增区间为（﹣，）； 当m=﹣2时，y=f（x）的减区间为（0，+∞）没有增区间； 当﹣2＜m＜0时，y=f（x）的减区间为（0，）和（﹣，+∞），增区间为（，﹣）． 20. （15分）已知函数(为常数)是实数集R上的奇函数,函数是区间[-1,1]上的减函数.        (1)求的值；（2）若在x∈[-1,1]上恒成立，求t的取值范围；       （3）讨论关于x的方程的根的个数. 参考答案： 解：（1）∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)=0.          .         …3分        (2) ∵a=0,∴f(x)=x,g(x)=λx+sinx.          ∵g(x)在[-1，1]上是减函数，         即可.         恒成立.                  …2分        令.        则                                 …2分       而恒成立,                                                          ….2分     (3)∵f(x)=x,∴方程为       令               ∴在（0，e）上为增函数，在(e,+∞)上为减函数；             …2分        当x=e时，        而                                …1分        ∴当，即时，方程无解，根的个数为0个；          当，即时，方程有1个根；          当，即时，方程有2个根。           …3分 略 21. 已知右焦点为F的椭圆M： +=1（a＞）与直线y=相交于P，Q两点，且PF⊥QF． （1）求椭圆M的方程： （2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入椭圆方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a=2，c=1，即可得到所求椭圆方程； （2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+），可得C的坐标，代入椭圆方程，可得4m2=3+4k2，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线AB的斜率不存在，即可得到△ABC的面积为定值． 【解答】解：（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，）， 代入椭圆方程可得+=1，即t2=a2① 且PF⊥QF，可得?=﹣1， 即c2﹣t2=﹣，② 由①②可得c2=a2﹣． 又a2﹣c2=3， 解得a=2，c=1， 即有椭圆方程为+=1； （2）设直线AB的方程为y=kx+m， 代入椭圆方程3x2+4y2=12， 可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=， 由O为△ABC的重心，可得=﹣（+） =（，﹣）， 由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12， 化简可得4m2=3+4k2， |AB|=?=? =?， C到直线AB的距离d==， S△ABC=|AB|?d=