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2022-2023学年广东省汕头市鹤丰初级中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数f(n)=in(n∈N*),则集合{z|z=f(n)}中元素的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.无数
参考答案:
A
【考点】虚数单位i及其性质;集合中元素个数的最值.
【分析】直接利用复数的幂运算,化简求解即可.
【解答】解:复数f(n)=in(n∈N*),可得f(n)=,k∈Z.
集合{z|z=f(n)}中元素的个数是4个.
故选:A.
【点评】本题考查复数单位的幂运算,基本知识的考查.
2. (5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的是( )
A. B. C. D. 7
参考答案:
A
【考点】: 由三视图求面积、体积.
空间位置关系与距离.
【分析】: 由已知的三视图可得:该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体,分别计算体积后,相减可得答案.
解:由已知的三视图可得:该几何体是一个正方体截去一个三棱锥所得的组合体,
正方体的棱长为2,故体积为:2×2×2=8,
三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形,高为1,故体积为:××1×1×1=,
故几何体的体积V=8﹣=,
故选:A
【点评】: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.
3. 我国南宋数学家秦九韶(约公元1202﹣1261年)给出了求n(n∈N*)次多项式anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0,当x=x0时的值的一种简捷算法.该算法被后人命名为“秦九韶算法”,例如,可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=((a3x+a2)x+a1)x+a0,然后进行求值.运行如图所示的程序框图,能求得多项式( )的值.
A.x4+x3+2x2+3x+4 B.x4+2x3+3x2+4x+5
C.x3+x2+2x+3 D.x3+2x2+3x+4
参考答案:
A
【考点】程序框图.
【分析】由题意,模拟程序的运行过程,依次写出每次循环得到的k,S的值,即可得解.
【解答】解:模拟程序的运行,可得
k=0,S=1,
k=1,S=x+1,
满足条件k<4,执行循环体,k=2,S=(x+1)x+2=x2+x+2
满足条件k<4,执行循环体,k=3,S=(x2+x+2)x+3=x3+x2+2x+3
满足条件k<4,执行循环体,k=4,S=(x3+x2+2x+3)x+4=x4+x3+2x2+3x+4
不满足条件k<4,退出循环,输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值.
故选:A.
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题,是基础题目.
4. 已知一元二次不等式的解集为,则的解集为
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
D
5. 如图,在直二面角A﹣BD﹣C中,△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形,取AD中点E,将△ABE沿BE翻折到△A1BE,在△ABE的翻折过程中,下列不可能成立的是( )
A.BC与平面A1BE内某直线平行 B.CD∥平面A1BE
C.BC与平面A1BE内某直线垂直 D.BC⊥A1B
参考答案:
D
【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】构造平面BCE,平面BFE,则可判断A,B,C,使用假设法判断D.
【解答】解:连结CE,当平面A1BE与平面BCE重合时,BC?平面A1BE,
∴平面A1BE内必存在与BC平行和垂直的直线,故A,C可能成立;
在平面BCD内过B作CD的平行线BF,使得BF=CD,
连结EF,则当平面A1BE与平面BEF重合时,BF?平面A1BE,
故平面A1BE内存在与BF平行的直线,即平面A1BE内存在与CD平行的直线,
∴CD∥平面A1BE,故C可能成立.
若BC⊥A1B,又A1B⊥A1E,则A1B为直线A1E和BC的公垂线,
∴A1B<CE,
设A1B=1,则经计算可得CE=,
与A1B<CE矛盾,故D不可能成立.
故选D.
6. 如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图,若输入的,,则输出的a=( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 8
参考答案:
C
【分析】
更相减损术求的是最大公约数,由此求得输出的值.
【详解】由于更相减损术求的是最大公约数,和的最大公约数是,故输出,故选C.
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化,考查更相减损术求最大公约数,属于基础题.
7. 函数f(x)=4sin(ωx﹣)sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,且sinα=,则f(α)=( )
A. B. ﹣ C. D. ﹣
参考答案:
考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
专题: 三角函数的图像与性质.
分析: 利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=﹣2cos2ωx,再根据周期性求得ω,可得f(x)=﹣2cos2x,再根据sinα=,利用二倍角的余弦公式求得f(α)=﹣2cos2α 的值
解答: 解:∵f(x)=4sin(ωx﹣)sin(ωx+)=4sin(ωx﹣)cos(﹣ωx+)=4sin(ωx﹣)cos(ωx﹣)=2sin(2ωx﹣)=﹣2cos2ωx,
且函数f(x)的最小正周期为 =π,求得ω=1,故f(x)=﹣2cos2x.
又sinα=,则f(α)=﹣2cos2α=﹣2(1﹣2sin2α )=4sin2α﹣2=﹣,
故选:B.
点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,三角函数的周期性和求法,属于中档题.
8. 程序框图如右图:
如果上述程序运行的结果为s=132,那么判断框中应填入
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 设i是虚数单位,复数是纯虚数,则实数
A. B.2 C. D.
参考答案:
D
略
10. 不等式 有且只有一个整数解,则的取值范围是( )
A.[-1,+∞) B.(-∞,-4-4ln2]∪[-1,+∞)
C.(-∞,-3-3ln3]∪[-1,+∞) D.(-4-4ln2,-3-3ln3]∪[-1,+∞)
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线与曲线(t为参数)相交于A、B两点,则线段AB的中点的直角坐标为_____________.
参考答案:
略
12. 求曲线y=,y=2﹣x,y=﹣x所围成图形的面积为 .
参考答案:
考点:定积分在求面积中的应用.
专题:导数的综合应用.
分析:分别求出曲线的交点坐标,然后利用积分的应用求区域面积即可.
解答: 解:由解得,即A(1,1).
由,解得,即B(3,﹣1),
∴曲线y=,y=2﹣x,y=﹣x所围成图形的面积为
==+=,
故答案为:;
点评:本题主要考查定积分的 应用,根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键,要求熟练掌握常见函数的积分公式.
13. 设圆,点,若圆O上存在点B,且(O为坐标原点),则点A的纵坐标的取值范围是 。
参考答案:
略
14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆的圆心到直线 的
距离是 .
参考答案:
如下图: .
15. 已知函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是 ▲ .
参考答案:
(0,)
f(x)=x(lnx﹣ax) ,.令,
∵函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则在区间上有两个实数根.
,当时,,则函数在区间单调递增,因此在区间上不可能有两个实数根,应舍去.
当a>0时,令,解得.
令,解得,此时函数单调递增;
令,解得,此时函数单调递减.
∴当时,函数取得极大值.当x趋近于0与趋近于时,→,
要使在区间上有两个实数根,则,解得.
∴实数的取值范围是(0,).
16. 函数,,,且最小值等于,则正数的值为 .
参考答案:
1
17. 设x、、、y成等差数列,x、、、y成等比数列,则的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.
(Ⅰ)求证:A,E,F,D四点共圆;
(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径.
参考答案:
考点:分析法和综合法.
专题:计算题;证明题.
分析:(I)依题意,可证得△BAD≌△CBE,从而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=π,即可证得A,E,F,D四点共圆;
(Ⅱ)取AE的中点G,连接GD,可证得△AGD为正三角形,GA=GE=GD=,即点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.
解答: (Ⅰ)证明:∵AE=AB,
∴BE=AB,
∵在正△ABC中,AD=AC,
∴AD=BE,
又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,
∴△BAD≌△CBE,
∴∠ADB=∠BEC,
即∠ADF+∠AEF=π,所以A,E,F,D四点共圆.…
(Ⅱ)解:如图,
取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE,
∵AE=AB,
∴AG=GE=AB=,
∵AD=AC=,∠DAE=60°,
∴△AGD为正三角形,
∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,
所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.
由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.…
点评:本题考查利用综合法进行证明,着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明,突出推理能力与分析运算能力的考查,属于难题.
19. 已知,且
(1)求的最小正周期及单调递增区间.
(2)在△ABC中,a,b,c,分别是A,B,C的对边,若成立 ,
求的取值范围.
参考答案:
解:(1)
单调递增区间为:
解得:
故单调递增区间为:
(2)由正弦定理得:
B为三角形的内角 B=
+1
又
故2,3]
20. 已知函数f(x)=|x﹣1|+|2x+2|.
(1)解不等式f(x)>5;
(2)若关于x的方程=a的解集为空集,求实数a的取值范围.
参考答案:
考点:绝对值不等式的解法.
专题:不等式的解法及应用.
分析:(1)化简函数的解析式为函数f(x)=|x﹣1|+|2x+2|=,分类讨论求得原不等式解集.
(2)由(1)中分段函数f(x)的解析式可得f(x)的单调性,由此求得函数f(x)的值域,可得的取值范围.再根据关于x的方程=a的解集为空集,求得实数a的取值范围.
解答: 解:(1)函数f(x)=|x﹣1|+|2x+2|=,
当x≥1时,由3x+5>5解得:x>;当﹣1<x<1时,由x+3>5得x>2 (舍去).
当x<﹣1时,由﹣3x﹣1>5,解得x<﹣2.
所以原不等式解集为{x|x<﹣2 x>}.
(2)由(1)中分段函数f(x)的解析式可知:f(x)在区间(﹣∞,﹣1)上单调递减,
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