广东省梅州市砂田中学2023年高三数学理联考试题含解析

广东省梅州市砂田中学2023年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在锐角中，角所对的边长分别为.若（     ） A．         B．         C．        D． 参考答案： A 2. 在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限                     B．第二象限                     C．第三象限                     D．第四象限 参考答案： B 略 3. 若F（c,0）为椭圆C：的右焦点，椭圆C与直线交于A,B两点，线段AB的中点在直线上，则椭圆的离心率为 （A）            （B）            （C）           （D） 参考答案： B 【考点】椭圆 【试题解析】 因为直线 在x,y轴上的截距分别为（a,0）,(0,b),所以A（a，0），B（0,b） 又线段AB的中点在直线上，所以即   4. 已知函数（），下列选项中不可能是函数图象的是（   ） 参考答案： D 5. 椭圆上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： D 略 6. 将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，则下列说法不正确的是（ ） A．的周期为π         B．       C. 是的一条对称轴         D．为奇函数 参考答案： C 由题意得 ，所以周期为π，，不是g(x)的对称轴，g(x)为奇函数，选C   7. 设F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是（　　） A． x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0 参考答案： A 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】不妨设P为右支上一点，由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，求出△PF1F2的三边，比较即可得到最小的角，再由余弦定理，即可得到c=a，再由a，b，c的关系，结合渐近线方程，即可得到所求． 【解答】解：不妨设P为右支上一点， 由双曲线的定义，可得，|PF1|﹣|PF2|=2a， 又|PF1|+|PF2|=6a， 解得，|PF1|=4a，|PF2|=2a， 且|F1F2|=2c， 由于2a最小，即有∠PF1F2=30°， 由余弦定理，可得，cos30 ==． 则有c2+3a2=2ac，即c=a， 则b==a， 则双曲线的渐近线方程为y=x， 即为y=x， 故选A． 8. 下列命题正确的个数是     ①命题“ ”的否定是“ ”：     ②函数 的最小正周期为“ ”是“a=1”的必要不充分条件；     ③ 在 上恒成立 在 上恒成立；     ④“平面向量 与 的夹角是钝角”的充分必要条件是“ ”     A．1         B. 2             C. 3              D．4 参考答案： B 9. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 A. B. C. D. 参考答案： C 10. 函数在区间[a,b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为 A. 2             B.             C.             D. 1 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数f（x）=（x﹣a）（x+3）为偶函数，则f（2）=　　． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】根据偶函数f（x）的定义域为R，则?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之求出a，即可求出f（2）． 【解答】解：因为函数f（x）=（x﹣a）（x+3）是偶函数， 所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x）， 所以?x∈R，都有（﹣x﹣a）?（﹣x+3）=（x﹣a）（x+3）， 即x2+（a﹣3）x﹣3a=x2﹣（a﹣3）x﹣3a， 所以a=3， 所以f（2）=（2﹣3）（2+3）=﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 12. 若关于x的方程，（a＞0且a≠1）有解，则m的取值范围是　　． 参考答案： 【考点】复合函数的单调性． 【分析】先换元，分类参数，结合基本不等式，即可求m的取值范围． 【解答】解：设ax=t（t＞0） ∵ ∴ ∵t＞0，∴t+≥2 ∴ ∴ ∴m的取值范围是 故答案为： 13. 以下四个命题中： ①从20名老人，40名中年人，50名青年人中按分层抽样的办法选出22人作为代表参加一次关于环保的问题的问卷调查，那么在选出的22人中有8名中年人. ②若 则 ③集合，，则集合 ④. 其中真命题的序号为           .（写出所有真命题的序号） 参考答案： ①④ 14. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，，，则          ． 参考答案： 2 因为为等比数列，所以，又因为各项均为正数，，故答案为2.   15. 函数的定义域为          ． 参考答案： (1,2)∪(2,+∞) x应该满足：，解得： ∴函数的定义域为 故答案为：   16. 不等式的解集是         . 参考答案： 17. 若满足约束条件：，则的取值范围为________________． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知的周长为，且． 　（Ⅰ）求边长的值；        （Ⅱ）若，求的值． 参考答案： 解  （1）根据正弦定理，可化为．      联立方程组，解得．     （2），   ． 　  又由（1）可知，， 　  由余弦定理得 ∴ 19. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知成等差数列。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列前n项和Tn。 参考答案： (1) .(2) . 【分析】 （1）先求出公比q=-2,再求出数列的通项公式；（2）求出，再利用错位相减法求数列的前项和. 【详解】（1）∵成等差数列，∴， 则，即， 设等比数列的公比为，则， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∴， ， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20. 已知函数． （Ⅰ）讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数； （Ⅱ）若函数f(x)在处取得极值，对恒成立，求实数b的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）． 【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为. 因为，所以， 当时，在上恒成立，函数在单调递减， ∴在上没有极值点； 当时，由得，由得， ∴在上递减，在上递增，即在处有极小值． ∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点 （Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知， ∴， 令，所以， 令可得在上递减，令可得在上递增， ∴，即. 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力. 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决. 21. 选修4-5：不等式选讲 设函数. （1）求的最小值及取得最小值时x的取值范围； （2）若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 参考答案： 解：（1）∵函数， 故函数的最小值为3， 此时； （2）当不等式的解集为，函数恒成立， 即的图象恒位于直线的上方， 函数， 而函数表示过点，斜率为的一条直线， 如图所示：当直线过点时，， ∴， 当直线过点时，，∴， 数形结合可得的取值范围为. 22. 已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}=． （1）求函数f（x）的极值； （2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围； （3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （2）问题转化为不等式在x∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可； （3）通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可． 【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1， ∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）… 令f'（x）=0，得x1=0或，∵a＞0，∴x1＜x2， 列表如下： x （﹣∞，0） 0 f'（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为… （2）g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x）， ∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解， 即不等式在x∈[1，2]上有解，… 设，∵对x∈[1，2]恒成立， ∴在x∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时，的最大值为4， ∴2a≤4，即a≤2… （3）由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为， ①当，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立， ∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点… ②当，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0， ∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点… ③当，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1）， ∵，∴φ（x）在（0，1）上单调递减， 又，∴存在唯一的，使得φ（x0）=0． Ⅰ．当0＜x≤x0时， ∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数， 又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一个零点； Ⅱ．当x＞x0时， ∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）为增函数， ∵g（1）=0，∴h（x）在（x0，+∞）上有一个零点； 从而h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有两个零点… 综上所述，当0＜a＜2时，h（x）有两个零点；当a=2时，h（x）有一个零点；当a＞2时，h（x）有无零点…