山西省晋中市榆次区修文镇第一中学高一数学理联考试卷含解析

山西省晋中市榆次区修文镇第一中学高一数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC      B．BD       C．A1D       D．A1D1 参考答案： B 2. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是(　　 ) 　　A.(－∞,2)　　　 B.(2,＋∞)　　　C.(－∞,2)∪(2,＋∞)　　 D.(－2,2) 参考答案： 解析：由f(x)在(－∞,0)上是减函数,且f(x)为偶函数得f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(－∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增. 　　又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0　∴f(x)在(－∞,-2]上总有f(x)≥f(-2)=0, ①　f(x)在[2,+∞)上总有f(x)≥f(2)=0　② 　　∴由①②知使f(x)<0的x的取值范围是(-2,2),应选D. 3. 下列函数中，在R上单调递增的是（　）． (A)    (B)   (C)   (D)  参考答案： C 4. 如果函数在区间上单调递减，那么实数的取值范围是(   ) A、        B、         C、         D、 参考答案： A 略 5. 若函数f（x）=，则f（﹣3）的值为（　　） A．5 B．﹣1 C．﹣7 D．2 参考答案： D 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【分析】根据分段函数的意义，经过反复代入函数解析式即可最后求得函数值f（﹣3） 【解答】解：依题意，f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=1+1=2 故选 D 6. 若a＜0，＞1，则                            (       ) （A）a＞1,b＞0  （B）a＞1,b＜0   （C）0＜a＜1, b＞0   （D） 0＜a＜1, b＜0 参考答案： D 略 7. 函数的零点个数是（   ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 先得到函数的定义域为：或，解方程 【详解】要使函数有意义，则，即或，由或函数的零点个数为2个. 故选：B. 【点睛】这个题目考查了函数的零点的求解，函数的零点即方程的根，两者可以直接转化. 8. 在中，三个内角的对边分别为,若角依次成等差数列，且,则的值为（  ）. A.               B.            C.          D. 参考答案： D 9. 关于x的方程ax2＋2x－1＝0至少有一个正的实根,则a的取值范围是 （    ） A．a≥0    B．－1≤a＜0     C．a≥－1    D． a＞0或－1＜a＜0  参考答案： C 略 10. 设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（  ） A．      B．         C．           D． 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若方程有实根，则实数_______；且实数_______。 参考答案：  解析：   ，即 而，即 12. ，集合，，若，则的值等于________； 参考答案： -1 13. （5分）若f（）=，则f（x）= ． 参考答案： ，（x≠1，x≠0） 考点： 函数解析式的求解及常用方法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 本题可以直接将“x”用“”代入，得到本题结论． 解答： ∵f（）=， ∴将“x”用“”代入： f（x）==，（x≠1）． 故答案为：，（x≠1，x≠0）． 点评： 本题考查了函数解析式求法，本题难度不大，属于基础题． 14. 不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝　　　　　　　　　 参考答案： 1 略 15. 已知下列四个命题： （1）已知扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角为； （2）若是第二象限角，则； （3）在平面直角坐标系中，角的终边在直线上，则； (4) 的角取值范围是 其中正确命题的序号为        ****           。 参考答案： (1),(3),(4) 13.已知则=_____________ . 参考答案： 略 17. 圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为         ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0． （1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程； （2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可； （2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在． 【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3， |CP|=，而弦心距d=， 所以d=|CP|=，所以P为MN的中点， 所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2， 故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4； （2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0． 由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点， 故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0． 则实数a的取值范围是（﹣∞，0）． 设符合条件的实数a存在， 由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上． 所以l2的斜率kPC=﹣2， ∴kAB=a=， 由于， 故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB． 【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题． 19. (本题满分8分) 等比数列的前项和为，公比，已知. （1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第4项和第16项，试求数列的通项公式及前项和. 参考答案： （1）易知,由已知得，解得.所以.   …4分     （2）由（1）得，，则，, 设的公差为，则有解得          ……………………6分                            且数列的前项和    ………8分 20. （12分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+（a2﹣5）=0}． （1）若A∩B={2}，求实数a的值； （2）若A∪B=A，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点： 集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算． 专题： 计算题． 分析： （1）先解出集合A，根据2是两个集合的公共元素可知2∈B，建立关于a的等式关系，求出a后进行验证即可． （2）一般A∪B=A转化成BA来解决，集合A两个元素故可考虑对集合B的元素个数进行讨论求解． 解答： 由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2} （1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中的方程， 得a2+4a+3=0a=﹣1或a=﹣3； 当a=﹣1时，B={x|x2﹣4=0}={﹣2，2}，满足条件； 当a=﹣3时，B={x|x2﹣4x+4=0}={2}，满足条件； 综上，a的值为﹣1或﹣3； （2）对于集合B， △=4（a+1）2﹣4（a2﹣5）=8（a+3）． ∵A∪B=A，∴BA， ①当△＜0，即a＜﹣3时，B=满足条件； ②当△=0，即a=﹣3时，B={2}，满足条件； ③当△＞0，即a＞﹣3时，B=A={1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系得 矛盾； 综上，a的取值范围是a≤﹣3． 点评： 本题主要考查了交集并集以及一元二次方程的解法，属于基础题，考查分类讨论的思想． 21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，. （Ⅰ）求证：CD⊥PD； （Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB； （Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由. 参考答案： （Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点. 【分析】 （Ⅰ）由题意可得CD⊥平面PAD，从而易得CD⊥PD； （Ⅱ）要证BD⊥平面PAB，关键是证明； （Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点. 【详解】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD 所以CD⊥PA. 因为CD⊥AD，， 所以CD⊥平面PAD. 因为平面PAD， 所以CD⊥PD. (II)因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD 所以BD⊥PA. 在直角梯形ABCD中，， 由题意可得， 所以， 所以. 因为， 所以平面PAB. （Ⅲ）解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点. 证明：取PA的中点N，连接MN，BN， 因为M是PD的中点，所以. 因为，所以. 所以MNBC是平行四边形， 所以CM∥BN. 因为平面PAB, 平面PAB. 所以平面PAB. 【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定定理,以及直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 22. 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，F为BD的中点，G在CD上，且CG＝，H为C1G的中点， 求：(1)FH的长；(2)三角形FHB的周长． 参考答案： 解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．由于正方体的棱长为1，则有D(0,0,0)，B(1，1,0)，G(0，，0)，C1(0,1，1)．    (1)因为F和H分别为BD和C1G的中点， 所以F(，，0)，H(0，，)． 所以FH＝ ＝. (2)由(1)可知FH＝， 又BH＝ `＝， BF＝， 所以三角形FHB的周长等于. 19.已知 （1）求的定义域; （2）证明为奇函数;