陕西省西安市自达中学高三数学理上学期期末试题含解析

陕西省西安市自达中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 正三角形的三个顶点在球的表面上，，球心到平面的距离为1，则球的表面积为     A.              B.           C.            D. 参考答案： 答案：B 2. 方程的实数根的个数是       （    ）        A．3                            B．2                            C．1                            D．0 参考答案： B 略 3. 已知直线y=3﹣x与两坐标轴围成的区域为Ω1，不等式组所形成的区域为Ω2，现在区域Ω1中随机放置一点，则该点落在区域Ω2的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】简单线性规划． 【分析】由题意画出图形，分别求出区域Ω1，Ω2的面积，利用几何概型得答案． 【解答】解：如图所示，△OAB对应的区域为Ω1，△OBC对应的区域为Ω2， 联立，解得C（1，2）， ∴，， 由几何概型可知，该点落在区域Ω2的概率， 故选B． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了几何概型的求法，是中档题． 4. 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 （A）       （B）       （C）       （D） 参考答案： C （解1）由已知，，令，得或， 当时，； 且，有小于零的零点，不符合题意。 当时， 要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选C （解2）：由已知，=有唯一的正零点，等价于 有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记 ，由，，， ，要使有唯一的正零根，只需，选C 5. 已知函数 若，则（   ） A．          B．         C．或     D．1或 参考答案： C 6. 设函数，若不等式有解．则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 参考答案： D 考点：利用导数求最值和极值 试题解析：因为不等式≤0有解，得有解，即的最小值，设， ，，得为极小值点，即为的最小值， 所以，实数的最小值为 故答案为：D 7. 在中，分别为所对的边，若函数有极值点，则的范围是（      ） A.         B.       C.         D. 参考答案： D 【知识点】导数的应用 由题意得， cosB=<,则的范围是. 【思路点拨】， cosB=<,则的范围是. 8. 函数的最小正周期为（    ） A. B. 2π C. D. π 参考答案： D 【分析】 利用降次公式化简表达式，再由此求得最小正周期. 【详解】因，所以最小正周期为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 9. 点在第二象限是角的终边在第三象限的（    ） A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 参考答案： C 略 10. 设实数x，y满足约束条件，则当z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最小值2时，a=（　　） A． B． C．1 D．2 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【分析】可以作出不等式的平面区域，根据目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，得到a+1=2，解得即可 【解答】解：画出可行域如图，可知z在H（1，1）处取得最小值，故a+1=2，a=1， 故选C． 【点评】本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 四名学生按任意次序站成一排，则或在边上的概率为 . 参考答案：   12. 极坐标与参数方程选讲选做题）极坐标系中，曲线和 相交于点，则＝           .                         参考答案： 略 13. 在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是      ． 参考答案： 14. (理科)已知直三棱柱的棱，，如图3所示，则异面直线与所成的角是　               　　(结果用反三角函数值表示)． 参考答案： (理)， 15. =　　． 参考答案： 【考点】极限及其运算． 【分析】利用洛必达法则对所求分式变形求极限值． 【解答】解：原式===． 故答案为： 16. 不等式的解集为       . 参考答案： 17. 已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为    ▲    ． 参考答案： 1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （分）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，右准线为一条渐近线的方程是过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是弦PQ的中点.    （1）求双曲线C的方程；    （2）若A、B分别是双曲C上两条渐近线上的动点，且2|AB|=|F1F2|，求线段AB的中点M的迹方程，并说明该轨迹是什么曲线。    （3）若在双曲线右准线L的左侧能作出直线m:x=a，使点R在直线m上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围. 参考答案： 解析：（1）设双曲线C的方程为， 则它的右准线方程为 已知得=1，则=1，所以所求双曲线C的方程是………………4分 （2）设A（x1,x2）、B（x1、x2）、M（x,y） 则 因为双曲线C的近线方程为 所以 故 又2|AB|=所以|AB|= 即             ………………7分 即 即 所以………………7分 所以点M的轨迹中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，短轴长为2的椭圆 （3）因为点R在直线m上的射影S满足 所以PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形. 所以点R到直线m:x=的距离为|RS|= 即……………………① 又………………9分 所以|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xP+xQ－1）=4xR－2……………………② 将②代入①，得………………10分 又P、Q是过右焦点F2的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点.所以  故所求a的取值范围是a≤－1. ………………12分 19. 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且 （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？ （注：年利润=年销售收入﹣年总成本） 参考答案： 解：（1）当； 当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x． ∴W=...........................................6   （2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9， 且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0， ∴当x=9时，W取最大值，且 ②当x＞10时， 当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38． 综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．.................................................13 20. 如图,多面体ABCD—EFG中,底面ABCD为正方形,GD//FC//AE,AE⊥平面ABCD,其正视图、俯视图及相关数据如图: （1）求证:平面AEFC⊥平面BDG; （2）求该几何体的体积; （3）求点C到平面BDG的距离．   参考答案： （1）连接AC,BD,正方形ABCD中,AC⊥BD,又AE∥GD∥FC,AE⊥平面ABCD,∴GD⊥平面ABCD,又AC平面ABCD,则AC⊥GD,又AC⊥BD,, ∴AC⊥平面BDG,又AC平面AEFC,∴平面AEFC⊥平面BDG;（4分） （2）原几何体可以划分为两个四棱锥:B-CFGD和B-AEGD,而,（6分），（8分）∴所给几何体的体积为:;（9分） （3）由条件可知GD⊥平面ABCD,故平面BDG⊥平面ABCD．过C作CH⊥BD于H,则CH⊥平面BDG 则CH的长即为点C到平面BDG的距离．在Rt△BCD中,由面积公式可得,则,即点C到平面BDG的距离为（13分） 21. 已知函数 . （1）当时，求函数 的极小值； （2）若函数在上为增函数，求的取值范围. 参考答案： （1）定义域为， 当时，， 令，得， 当时，为减函数；当时，为增函数， 所以函数的极小值是. （2）由已知得， 因为函数在是增函数，所以对任意恒成立， 由得，即对任意恒成立， 设，要使得对任意恒成立，只要， 因为，令，得， 当时，为减函数；当时，为增函数， 所以的最小值为. 故函数在是增函数，实数的取值范围是. 22. （本小题满分13分）四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚（质地不均匀）正面向上的概率均为（）.将这四枚纪念币同时投掷一次，设ξ表示出现正面向上的枚数. （Ⅰ）求ξ的分布列（用表示）； （Ⅱ）若只有一枚正面向上对应的概率最大，求的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）由题意可得ξ的可能取值为. …… ……………………… 1分         …………………………………………………     6分 ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 ………………………………7分 （Ⅱ）∵  ∴       …………………9分 ∴， 解得        …………………………………………12分 ∴的取值范围为  .         …………………………………  13分