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辽宁省辽阳市上麻屯中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系中,直线与圆相交于两点,
则弦的长等于( )
参考答案:
选
圆的圆心到直线的距离
弦的长
2. 设F1, F2分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P,满足,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出a与b之间的等量关系,进而求出离心率.解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知,可知|PF1|=4b,根据双曲定义可知4b-2c=2a,整理得c=2b-a,代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0,求得,故可知双曲线的离心率为,选B.
考点:双曲线的性质
点评:解决的关键是根据双曲线于直线的位置关系,以及双曲线的几何性质来求解,属于中档题.
3. 为培养学生分组合作能力,现将某班分成A,B,C三个小组,甲、乙、丙三人分到不同组.某次数学建模考试中三人成绩情况如下:在B组中的那位的成绩与甲不一样,在A组中的那位的成绩比丙低,在B组中的那位的成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序,则排序正确的是
A.甲、丙、乙 B.乙、甲、丙
C.乙、丙、甲 D.丙、乙、甲
参考答案:
C
4. 一组数据的方差是,将这组数据中的每个数据都乘以2,所得到的一组新数据的方差是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
C
由题意:z= –1–2i,故位于第三象限
【答案】
【解析】
6. “”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
参考答案:
A
略
7. 已知i是虚数单位,复数为实数,则a等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C 解析:为实数,则.
8. 函数是
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
参考答案:
D
略
9. 在等比数列{an}中,an>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,则a4+a5=( )
A.16 B.27 C.36 D.81
参考答案:
B
【考点】等比数列的性质.
【分析】首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值,然后代入a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果.
【解答】解:∵a2=1﹣a1,a4=9﹣a3
∴a1q+a1=1 ①a1q3+a1q2=9 ②
两式相除得,q=±3
∵an>0
∴q=3 a1=
∴a4+a5=a1q3+a1q4=27
故选B.
10. 设x,y满足约束条件 , 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为( ).
A. B. C. D. 4
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数在区间是减函数,则的取值范围是 .
参考答案:
.
试题分析:时,是减函数,又,∴由得在上恒成立,.
考点:1.三角函数的单调性;2.导数的应用.
12. 函数对于任意实数满足条件,若,则 .
参考答案:
13. 已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于 .
参考答案:
14. 在极坐标系中,已知圆与直线相切,则实数a的值为
___________.
参考答案:
或
略
15. 设,不等式组 所表示的平面区域是.给出下列三个结论:
① 当时,的面积为;
② ,使是直角三角形区域;
③ 设点,对于有.
其中,所有正确结论的序号是______.
参考答案:
①、③
16. 已知的值为 .
参考答案:
﹣
【考点】两角和与差的正切函数.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用两角差的正切公式,求得tanβ=tan[(α+β)﹣α]的值.
【解答】解:∵已知=tan[(α+β)﹣α]= = =﹣,
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用,属于基础题.
17. 如果执行如图所示的程序框图,则输出的数S= .
参考答案:
2500
【知识点】程序框图.L1
解析:模拟执行程序框图,可得
i=1,S=0
S=1,i=3
不满足条件i>99,S=4,i=5
不满足条件i>99,S=9,i=7
不满足条件i>99,S=16,i=9
…
不满足条件i>99,S=1+3+5+7+…+99,i=101
满足条件i>99,退出循环,输出S=1+3+5+7+…+99==2500.
故答案为:2500.
【思路点拨】模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出结果.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分18分,其中第1小题3分,第2小题7分,第3小题8分)
给出函数封闭的定义:若对于定义域内的任意一个自变量,都有函数值,
称函数在上封闭.
(1)若定义域,判断函数是否在上封闭,并说明理由;
(2)若定义域,是否存在实数,使得函数在上封闭?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)利用(2)中函数,构造一个数列,方法如下:对于给定的定义域中的,令,,…,,…在上述构造数列的过程中,如果在定义域中,构造数列的过程将继续下去;如果不在定义域中,则构造数列的过程停止.
①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列,求实数的取值范围.
②如果取定义域中任一值作为,都可以用上述方法构造出一个无穷数列,求实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)因为,所以在上不封闭. …… 3分
(2)
1当时,在上,此时在上封闭. …… 5分
2当时,在上,此时在上不封闭. …… 7分
3当时,在上单调递增.要使在上封闭,必有 . …… 9分
所以,当时,在上封闭. …… 10分
(3)1若构造的数列为常数列,只需时,有解, …… 13分
即有解,即在时有解.
因为时,,所以 …… 15分
2若构造的数列为无穷数列,则需要在区间上封闭,即.
…… 18分
略
19. 已知椭圆的方程为,其焦点在轴上,点为椭圆上一点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)设动点满足,其中、是椭圆上的点,直线与
的斜率之积为,求证:为定值;
(3)在(2)的条件下探究:是否存在两个定点,使得为定值?
若存在,给出证明;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1)因为点为椭圆上一点,所以, ……… 2分
得 , 椭圆方程为 ……………… 4分
(2)设, 又,化简得 2分
则,, ……………… 3分
……………… 5分
所以
(定值) ……………… 8分
(3)因为动点P(x0,y0)满足,即,
所以点P的轨迹为焦点的椭圆。
存在点A()、B(),使得=(定值)… 4分
(1)、(2)的评分标准同理科。
略
20. (本题满分14分)已知函数.
(1)求证:函数在内单调递增;
(2)记. 若关于的方程在上有解,求的取值范围.
参考答案:
(1)任取,则
,
,
,
,即函数在内单调递增.
解(2),
[
21. (本小题满分12分)
如图,抛物线:与椭圆:在第一象限的交点为, 为坐标原点,为椭圆的右顶点,的面积为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)过点作直线交于、 两点,求面积的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)因为的面积为,所以,……………2分
代入椭圆方程得,
抛物线的方程是: ……………6分
(Ⅱ) 直线斜率不存在时,;
直线斜率存在时,设直线方程为,带入抛物线,得
,
综上最小值为. ……………12分
22. (本小题满分12分)
设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若角边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.
参考答案:
(Ⅱ)由(Ⅰ)知A=B=,所以AC=BC,C=,
设AC=x,则MC=x.又AM=,…………………………9分
在△AMC中,由余弦定理得
即x2+2-2x··cos=()2,解得x=2,
故S△ABC=x2sin =………………………………………12分
考点:(Ⅰ)正弦定理,三角恒等式;(Ⅱ)余弦定理,三角形的面积.
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