辽宁省葫芦岛市第七高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析

辽宁省葫芦岛市第七高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若，则是的      （   ） A．充分而不必要条件          B．必要而不充分条件 C．充要条件                  C．既不充分又不必要条件 参考答案： A 2. 椭圆的焦距是2，则的值为 A．5或3 B．8 C．5 D．16 参考答案： A 略 3. 直线=1与椭圆=1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB面积为2，这样的点P共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由题意可知：，求得A和B点坐标，求得丨AB丨=5，△PAB面积S=?丨AB丨?d=2，解得：d=，设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切，代入椭圆方程，由△=0，即可求得m的值，根据点到直线的距离公式可知：这样到直线AB的距离为的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个． 【解答】解：由题意可知：，解得：或， 设A（4，0），B（0，3），由条件可知： 若点P到直线AB的距离为d， 那么△PAB面积S=?丨AB丨?d=2，解得：d=， 设与直线平行的直线为3x+4y+m=0，与椭圆相切， ∴，整理得：18x2+6mx+m2﹣16×9=0， 由△=0，即36m2﹣4×18（m2﹣16×9）=0，整理得：m2=288，解得：m=±12， ∴切线方程l1：3x+4y+12=0，切线方程l2：3x+4y﹣12=0， 由直线l1与直线=1的距离d1==（+1）＞， 同理直线l2与直线=1的距离d2==（﹣1）＞， ∴这样到直线AB的距离为的直线有两条，这两条直线与椭圆都相交，分别有两个交点，共4个， 故选D． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题， 4. 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　） A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 参考答案： B 【考点】直线与平面平行的判定． 【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案． 【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确； C：l∥α，m?α，则l∥m或两线异面，故不正确． D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确． B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确． 故选B 5. 抛物线y2=20x的焦点到准线的距离是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】利用抛物线的标准方程可得 p=10，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果． 【解答】解：抛物线y2=20x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=10， 故选：B． 6. 若满足，满足，则 A.              B.3              C.            D.4 参考答案： C 7. 不等式 对于恒成立，那么的取值范围是（    ）   A．         B．         C．        D． 参考答案： B 8. “4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可． 【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆， ∴，解得：7＜k＜10， 故“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件， 故选：B． 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式 恒成立，则不等式的解集为（    ） A、      B、      C、      D、 参考答案： B 10. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位偶数中，若5只与偶数数字相邻，称这个数为“吉祥数”，则出现“吉祥数”的概率是                                   参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. (1）≥2成立当且仅当a,b均为正数.（2）的最小值是.（3）的最大值是.（4）|a＋|≥2成立当且仅当a≠0.以上命题是真命题的是：              参考答案： ③④    略 12. 已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是__________. 参考答案： 1 【分析】 对函数进行求导，然后分类讨论函数的单调性，由题意可以求出的取值范围，然后对四个判断逐一辨别真假即可. 【详解】，. 当时，，函数是单调递增函数，而，所以函数只有一个零点，不符合题意； 当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数递减，故函数的最小值为，要想函数有两个零点，则必有 ，故判断①不对； 对于②：， 取，，所以，故判断②不对； 对于④： 构造函数， ，所以函数是上单调递增， 故， 而，所以，故本判断是正确的；   对于③：因为，而，所以有，故本判断是错误的，故正确的判断的个数为1. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点、极值点，考查了推理论证能力. 13. 在         . 参考答案： 60° 14. 已知动圆：， 则圆心的轨迹是                  . 参考答案： 椭圆 略 15. 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M是面对角线A1B上的动点，则AM+MD1的最小值为　　． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【专题】空间位置关系与距离． 【分析】把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1并求出，根据平面内两点之间线段最短，可知就是最小值． 【解答】解：把对角面A1C绕A1B旋转，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD1， 则在△AA1D中，AD1==为所求的最小值． 故答案为： 【点评】本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查考查棱柱的结构特征，考查平面内两点之间线段，最短考查计算能力，空间想象能力，基本知识的考查． 16. 在中，已知，∠A＝120°，，则∠B＝__________。 参考答案： 略 17. 已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“”是 的            .(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一) 参考答案： 充要条件 ∵， ∴， 整理得． ∴“”是“”的充要条件．   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程 （2）若直线l与曲线的C两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点为P,求的值. 参考答案： （1），；（2）1. 分析：(1)消去参数t可得直线l的普通方程为x＋y－1＝0．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0．化为极坐标即ρ＝4sin θ． (2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2－3t＋1＝0，结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1． 详解：(1)直线l的参数方程为(为参数)， 消去参数t，得x＋y－1＝0． 曲线C的参数方程为 (θ为参数)， 利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0． 令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ． (2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)． 把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0， ∴t1＋t2＝3，t1t2＝1． 由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1． 点睛：本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. （本小题满分13分）已知二次函数满足：，且关于的方程的两实根是和3. (Ⅰ)求的解析式； （Ⅱ）设，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 参考答案： （Ⅰ）设，则.设的两根为，则解得， （Ⅱ），依题意有， 20. 已知：上是增函数，在上是减函数，且方程有三个实根，它们分别为 . （1）求的值；  （2）求证：；     （3）求的取值范围. 参考答案： （1）             （2）  的根分别为 上是减函数，       （3）为的三个根          略 21. （本小题满分14分） 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。 （1）sin213°+cos217°-sin13°cos17° （2）sin215°+cos215°-sin15°cos15° （3）sin218°+cos212°-sin18°cos12° （4）sin2（-18°）+cos248°- sin（-18°）cos48° （5）sin2（-25°）+cos255°- sin（-25°）cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。 参考答案： 略 22. 已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2． （Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性； （Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+． 参考答案： 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a． （Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性； （Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+． 【解答】解：（1）因为， 令f'（1）=0，即，解得a=﹣4， 经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减， ∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意． （2）， 令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞） ①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减； ②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减； 若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减； ③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞