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辽宁省葫芦岛市第七高级中学高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若,则是的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 C.既不充分又不必要条件
参考答案:
A
2. 椭圆的焦距是2,则的值为
A.5或3 B.8 C.5 D.16
参考答案:
A
略
3. 直线=1与椭圆=1相交于A,B两点,该椭圆上点P使得△PAB面积为2,这样的点P共有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】由题意可知:,求得A和B点坐标,求得丨AB丨=5,△PAB面积S=?丨AB丨?d=2,解得:d=,设与直线平行的直线为3x+4y+m=0,与椭圆相切,代入椭圆方程,由△=0,即可求得m的值,根据点到直线的距离公式可知:这样到直线AB的距离为的直线有两条,这两条直线与椭圆都相交,分别有两个交点,共4个.
【解答】解:由题意可知:,解得:或,
设A(4,0),B(0,3),由条件可知:
若点P到直线AB的距离为d,
那么△PAB面积S=?丨AB丨?d=2,解得:d=,
设与直线平行的直线为3x+4y+m=0,与椭圆相切,
∴,整理得:18x2+6mx+m2﹣16×9=0,
由△=0,即36m2﹣4×18(m2﹣16×9)=0,整理得:m2=288,解得:m=±12,
∴切线方程l1:3x+4y+12=0,切线方程l2:3x+4y﹣12=0,
由直线l1与直线=1的距离d1==(+1)>,
同理直线l2与直线=1的距离d2==(﹣1)>,
∴这样到直线AB的距离为的直线有两条,这两条直线与椭圆都相交,分别有两个交点,共4个,
故选D.
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查点到直线的距离公式,三角形的面积公式,考查计算能力,属于中档题,
4. 设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m?α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m?α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m
参考答案:
B
【考点】直线与平面平行的判定.
【分析】根据题意,依次分析选项:A,根据线面垂直的判定定理判断.C:根据线面平行的判定定理判断.D:由线线的位置关系判断.B:由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.
【解答】解:A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行,不正确;
C:l∥α,m?α,则l∥m或两线异面,故不正确.
D:平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确.
B:由线面垂直的性质可知:平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.
故选B
5. 抛物线y2=20x的焦点到准线的距离是( )
A.5 B.10 C.15 D.20
参考答案:
B
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】利用抛物线的标准方程可得 p=10,由焦点到准线的距离为p,从而得到结果.
【解答】解:抛物线y2=20x的焦点到准线的距离为p,由标准方程可得p=10,
故选:B.
6. 若满足,满足,则
A. B.3 C. D.4
参考答案:
C
7. 不等式 对于恒成立,那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
8. “4<k<10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可.
【解答】解:∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,
∴,解得:7<k<10,
故“4<k<10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件,
故选:B.
9. 已知函数是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数,不等式
恒成立,则不等式的解集为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
B
10. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位偶数中,若5只与偶数数字相邻,称这个数为“吉祥数”,则出现“吉祥数”的概率是
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (1)≥2成立当且仅当a,b均为正数.(2)的最小值是.(3)的最大值是.(4)|a+|≥2成立当且仅当a≠0.以上命题是真命题的是:
参考答案:
③④
略
12. 已知函数有两个零点,,则下列判断:①;②;③;④有极小值点,且.则正确判断的个数是__________.
参考答案:
1
【分析】
对函数进行求导,然后分类讨论函数的单调性,由题意可以求出的取值范围,然后对四个判断逐一辨别真假即可.
【详解】,.
当时,,函数是单调递增函数,而,所以函数只有一个零点,不符合题意;
当时,当时,,函数单调递增,当时,,函数递减,故函数的最小值为,要想函数有两个零点,则必有
,故判断①不对;
对于②:,
取,,所以,故判断②不对;
对于④:
构造函数,
,所以函数是上单调递增,
故,
而,所以,故本判断是正确的;
对于③:因为,而,所以有,故本判断是错误的,故正确的判断的个数为1.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点、极值点,考查了推理论证能力.
13. 在 .
参考答案:
60°
14. 已知动圆:,
则圆心的轨迹是 .
参考答案:
椭圆
略
15. 如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,点M是面对角线A1B上的动点,则AM+MD1的最小值为 .
参考答案:
【考点】点、线、面间的距离计算.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】把对角面A1C绕A1B旋转,使其与△AA1B在同一平面上,连接AD1并求出,根据平面内两点之间线段最短,可知就是最小值.
【解答】解:把对角面A1C绕A1B旋转,使其与△AA1B在同一平面上,连接AD1,
则在△AA1D中,AD1==为所求的最小值.
故答案为:
【点评】本题的考点是点、线、面间的距离计算,主要考查考查棱柱的结构特征,考查平面内两点之间线段,最短考查计算能力,空间想象能力,基本知识的考查.
16. 在中,已知,∠A=120°,,则∠B=__________。
参考答案:
略
17. 已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“”是
的 .(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)
参考答案:
充要条件
∵,
∴,
整理得.
∴“”是“”的充要条件.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程
(2)若直线l与曲线的C两个交点分别为M,N,直线l与x轴的交点为P,求的值.
参考答案:
(1),;(2)1.
分析:(1)消去参数t可得直线l的普通方程为x+y-1=0.曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4y=0.化为极坐标即ρ=4sin θ.
(2)联立直线参数方程与圆的一般方程可得t2-3t+1=0,结合直线参数的几何意义可得|PM|·|PN|=|t1·t2|=1.
详解:(1)直线l的参数方程为(为参数),
消去参数t,得x+y-1=0.
曲线C的参数方程为 (θ为参数),
利用平方关系,得x2+(y-2)2=4,则x2+y2-4y=0.
令ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,代入得C的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(2)在直线x+y-1=0中,令y=0,得点P(1,0).
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2-3t+1=0,
∴t1+t2=3,t1t2=1.
由直线参数方程的几何意义,|PM|·|PN|=|t1·t2|=1.
点睛:本题主要考查参数方程与直角坐标方程、极坐标方程与普通方程之间的转化方法,直线参数方程的几何意义等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19. (本小题满分13分)已知二次函数满足:,且关于的方程的两实根是和3.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)设,且在区间上是单调函数,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)设,则.设的两根为,则解得,
(Ⅱ),依题意有,
20. 已知:上是增函数,在上是减函数,且方程有三个实根,它们分别为 .
(1)求的值;
(2)求证:;
(3)求的取值范围.
参考答案:
(1)
(2)
的根分别为
上是减函数,
(3)为的三个根
略
21. (本小题满分14分)
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。
(1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°
(2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°
(3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°
(4)sin2(-18°)+cos248°- sin(-18°)cos48°
(5)sin2(-25°)+cos255°- sin(-25°)cos55°
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。
参考答案:
略
22. 已知函数f(x)=aln(x+1)﹣ax﹣x2.
(Ⅰ)若x=1为函数f(x)的极值点,求a的值;
(Ⅱ)讨论f(x)在定义域上的单调性;
(Ⅲ)证明:对任意正整数n,ln(n+1)<2+.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【专题】导数的综合应用.
【分析】(I)由,f′(1)=0,知,由此能求出a.
(Ⅱ)由,令f′(x)=0,得x=0,或,又f(x)的定义域为(﹣1,+∞),讨论两个根及﹣1的大小关系,即可判定函数的单调性;
(Ⅲ)当a=1时,f(x)在[0,+∞)上递减,∴f(x)≤f(0),即ln(x+1)≤x+x2,由此能够证明ln(n+1)<2+.
【解答】解:(1)因为,
令f'(1)=0,即,解得a=﹣4,
经检验:此时,x∈(0,1),f'(x)>0,f(x)递增;x∈(1,+∞),f'(x)<0,f(x)递减,
∴f(x)在x=1处取极大值.满足题意.
(2),
令f'(x)=0,得x=0,或,又f(x)的定义域为(﹣1,+∞)
①当,即a≥0时,若x∈(﹣1,0),则f'(x)>0,f(x)递增;若x∈(0,+∞),则f'(x)<0,f(x)递减;
②当,即﹣2<a<0时,若x∈(﹣1,,则f'(x)<0,f(x)递减;
若,0),则f'(x)>0,f(x)递增;若x∈(0,+∞),则f'(x)<0,f(x)递减;
③当,即a=﹣2时,f'(x)≤0,f(x)在(﹣1,+∞
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