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贵州省遵义市南白一中中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数是定义在R上的奇函数,且当∈(﹣∞,0)时不等式
+′()<0成立,若,,.则的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 若函数在上的最大值为M,最小值为m,则M-m=( )
A. B.2 C. D.
参考答案:
A
为偶函数,当时,因此,选A.
3. 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,, 若f (x)≥x+a“对于任意x∈R恒成立,则常数a的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
D
略
4. 已知椭圆,双曲线和抛物线y2=2px(p>0)的离心率分别为e1、e2、e3,则( )
A.e1e2>e3 B.e1e2=e3 C.e1e2<e3 D.e1e2≥e3
参考答案:
C
【考点】K4:椭圆的简单性质;K8:抛物线的简单性质;KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据题意先分别表示出e1,e2和e3,然后求得e1e2的取值范围,检验选项中的结论即可.
【解答】解:依题意可知e1=,e2=,e3=1
∴e1e2=?=<1,A,B,D不正确.
故选C.
5. 设函数的最大值为,最小值为,则的值为
、 、 、 、
参考答案:
A
由已知,
令,易知为奇函数,由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为,
,=,故选.
6. 已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ,点R在直线PQ上,且满足,R在抛物线准线上的射影为S,设,是△PQS中的两个锐角,则下列四个式子
① ② ③ ④
中一定正确的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
【知识点】抛物线 H7
C 解析:由于△PQS是直角三角形,则,故①②③都对,
当PQ垂直对称轴时,故选C
【思路点拨】根据抛物线的概念与性质,可求出三角形的性质,再判定结果.
7. 已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为( )
A.+2 B.+1 C.+1 D.+1
参考答案:
D
【考点】抛物线的简单性质;双曲线的简单性质.
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标,将其代入双曲线方程求出A的坐标,将A代入抛物线方程求出双曲线的三参数a,b,c的关系,则双曲线的渐近线的斜率可求.
【解答】解:抛物线的焦点坐标为(,0);双曲线的焦点坐标为(c,0),
∴p=2c,
∵点A 是两曲线的一个交点,且AF⊥x轴,
将x=c代入双曲线方程得到
A(c,),
将A的坐标代入抛物线方程得到=2pc,即4a4+4a2b2﹣b4=0.
解得,
∴,解得:.
故选:D.
【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率,是中档题.
8. 若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
B
略
9. 已知,,,则( )
A. 2 B. C. 1 D. 0
参考答案:
A
【分析】
根据向量垂直的定义即可得到关于的方程,解方程即可得到答案。
【详解】 ,,
,
又,
,即,解得,
,,
故答案选A。
【点睛】本题主要考查向量坐标的表示,向量垂直的关系以及向量模的公式,属于基础题。
10. 条件甲:“a>1”是条件乙:“”的 ( )
A.既不充分也不必要条件 B.充要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若复数z满足(i是虚数单位),则z =_____________;
参考答案:
略
12. 从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是___________。
参考答案:
若使两点间的距离为,则为对角线一半,选择点必含中心,概率为.
13. 设单位向量 .
参考答案:
14. 如果一个实数数列满足条件:(为常数,),则称这一数列为“方等差数列”, 称为“方公差”。给出下列关于某个方等差数列的结论:①对于任意的首项,若<0,则这一数列必为有穷数列;②当>0, >0时,这一数列必为单调递增数列;③这一数列可以是一个周期数列;④若这一数列的首项为1,方公差为3,可以是这一数列中的一项;⑤若这一数列的首项为0,第三项为1,则这一数列的的第二项必为。其中正确结论的序号是--__________.(写出所有正确结论的序号)
参考答案:
①③
①由可知单调递减,又故必只能运算有限次,故①正确;
②故可为负值,故②错误;③当的常数列满足条件,故③正确;
通过运算可知④⑤错误;故填①③.
15. (lg 5) 2+lg 2·lg 50=________.
参考答案:
1
16. 12.已知抛物线的准线与圆
相切,则 .
参考答案:
命题意图:本题考查抛物线与圆的性质,简单题.
17. 已知实数满足,若不等式恒成立,则实数的最小值是________________.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图己知棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,,点E是棱AD的中点,点F在SC棱上,且
,SA∥平面BEF.
(I)求实数的值;
(Ⅱ)求三棱锥F-EBC的体积。
参考答案:
19. 已知正项数列满足,数列的前项和满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)求数列的前项和.
参考答案:
(1)因为,所以,,
因为,所以,所以,
所以是以1为首项,1为公差的等差数列,所以,
当时,,
当时,也满足,所以;
(2)由(1)可知,
所以.
20. 已知函数.
(1)若曲线与直线相切,求实数a的值;
(2)若不等式在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
(1)1;(2).
分析:(1)求导,利用导数的几何意义进行求解;(2)分离参数,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,再求导,通过导数的符号变化确定函数的单调性,进而求出极值和最值.
详解:(1),
设切点的横坐标为,由题意得,
解得,,
所以实数的值为1.
(2)由题意,在定义域内恒成立,
得在定义域内恒成立,
令,
则,
再令,则,
即在上单调递减,又,
所以当时,,从而,在上单调递增;
当时,,从而,在上单调递减;
所以在处取得最大值,
所以实数的取值范围是.
点睛:1.在处理曲线的切线时,要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”,前者的点一定为切点,但后者的点不一定在曲线上,且也不一定为切点;
2.在处理含参数的不等式恒成立问题时,往往分离参数,将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题,再利用“恒成立”进行处理.
21. 甲将经营的某淘宝店以57.2万元的优惠价格转让给了尚有40万元无息贷款没有偿还的乙,并约定从该店经营的利润中,逐步偿还转让费(不计息),直到还清.已知:①这种消费品的进价每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售单价P(元/件)的关系如图所示的折线段;③该店每月需各种开支2000元.
(I)写出月销量Q(百件)与销售单价P(元/件)的关系,并求该店的月利润L(元)关于销售单价P(元/件)的函数关系式(该店的月利润=月销售利润-该店每月支出,不包括转让费及贷款);
(II)当商品的价格为每件多少元时,该店的利润最大?并求该店的月利润的最大值;
(III)若乙只依靠该店,最早可望在多少年后无债务?
参考答案:
简答: (1) …………2分
因此, …………4分
即(略).
略
22. 在中,角所对的边分别是,且.
(1)求的值;
(2)若,求的面积.
参考答案:
(1)∵,由正弦定理得,∴.
(2)由,得,∴,
∴.
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