福建省泉州市晋江市第二中学高三数学文期末试卷含解析

福建省泉州市晋江市第二中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数（其中A＞0,）的图象如图所示，为了得到图象， 则只需将的图象                      （    ） A. 向右平移个长度单位 B. 向左平移个长度单位 C. 向右平移个长度单位     D. 向左平移个长度单位 参考答案： B 2. 已知正数的等比中项是2，且，则的最小值是（ ▲ ） A．3         B．4        C．5         D．6 参考答案： C 略 3. 我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是（　　） A. 24里 B. 36里 C. 48里 D. 60里 参考答案： B 【分析】 记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，利用等比数列求和公式解得，利用等比数列的通项公式可得． 【详解】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列， 由，得，解得：， ． 所以此人第4天和第5天共走了里，故选B． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考属于中档题．等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解. 4. 若变量满足约束条件， 则的最大值为                     A．       B．       C．      D． 参考答案： C 5. 函数的图像为   参考答案： A 略 6. 函数在区间上的值域为（    ） A．     B．     C．      D． 参考答案： A 试题分析：，，当时，，递减，当时，，递增，，，，所以值域为．故选A． 考点：用导数求函数的值域． 7. 若集合则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件                      B．必要不充分条件 C．充要条件                              D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 8. 若集合，，则 A.   B. C.  D. 参考答案： C 略 9. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： ①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1； ③FG∥平面BC1D1；   ④平面EFG∥平面BC1D1 其中推断正确的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 参考答案： A 【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】由FG∥BC1，BC1∥AD1，得FG∥AD1，从而FG∥平面BC1D1，FG∥平面AA1D1D；由EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，从而EF与平面BC1D1相交，进而平面EFG与平面BC1D1相交． 【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点， ∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1， ∵FG?平面AA1D1D，AD1?平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确； ∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误； ∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点， ∴FG∥BC1，∵FG?平面BC1D1，BC1?平面BC1D1， ∴FG∥平面BC1D1，故③正确； ∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误． 故选：A． 10. 已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x的图象在区间[0，]和[2a，]上均单调递增，则正数a的取值范围是（　　） A．[，]B．[，π]C．[，π] D．[，] 参考答案： B 【考点】正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】求解出函数的单调增区间，根据在区间和上均单调递增建立关系可得答案． 【解答】解：由函数=2sin（2x﹣）， 令2x﹣ 得：≤x≤，k∈Z． 当k=0时，可得增区间为[，]， ∵在区间和上均单调递增 则， ∴0＜a≤π． 当k=1时，可得增区间为[，]， 则2a， ∴a． 综上可得：π≥a． 故选B 　 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图P1是一块半径为1的半圆形纸板，在P1的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形P2，  然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P3，P4，…，Pn，…，  记纸板Pn的面积为Sn，则Sn＝_____ 参考答案： 12. 向量，，若向量，共线，且，则mn的值为          ． 参考答案： －8    13. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（0，+∞）上单调递减，若实数a满足f（log2）＜f（﹣），则a的取值范围是　     　． 参考答案： （0，）∪（，+∞）   【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化即可． 【解答】解：∵偶函数f（x）是[0，+∞）上单调递减，满足不等式f（log2）＜f（﹣）， ∴不等式等价为f（|log2|）＜f（）， 即|log2|＞， 即log2＞或log2＜﹣， 即0＜a＜或a＞， 故答案为：（0，）∪（，+∞）． 　 14. 已知向量，，若，则   . 参考答案： 略 15. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是        ． 参考答案： 16. 某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按右图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为　　． 参考答案： 20人 17. 有下列四个命题   ①“若x+y=0，则x、y互为相反数”的逆命题；   ②“全等三角形的面积相等”的否命题；   ③“若q≤l，则有实根”的逆否命题   ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题，     其中真命题为__________________. 参考答案： ①③ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 口袋中有n(n∈N＊)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X, 若,求：    （1）n的值；    （2）X的概率分布与数学期望. 参考答案： 解：（1）由题知      （2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，所以 所以，X的概率分布表为 X 1 2 3 4 P 所以 答X的数学期望是  略 19. 设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（﹣1，f（﹣1）） 处的切线垂直于y轴． （Ⅰ）用a分别表示b和c； （Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=﹣f（x）e﹣x的单调区间． 参考答案： 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【专题】综合题． 【分析】（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（﹣1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可． （Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b． 因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3， 又曲线y=f（x）在（﹣1，f（﹣1））处的切线垂直于y轴，故f'（﹣1）=0， 即﹣2a+b=0，因此b=2a． （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 故当时，bc取得最小值﹣． 此时有． 从而，g（x）=﹣f（x）e﹣x=（x2+x﹣）e﹣x， 所以 令g'（x）=0，解得x1=﹣2，x2=2． 当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（﹣∞，﹣2）上为减函数； 当x∈（﹣2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（﹣2，2）上为增函数． 当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数． 由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2）和（2，+∞）；单调递增区间为（﹣2，2）． 【点评】本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题时注意复合函数的求导法则． 20. （14分）已知椭圆(＞＞0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程： (2)设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4,求的值. 参考答案： （1）解：由，得，再由，得----2分 由题意可知， 解方程组 得---5分 所以椭圆的方程为   ---6分 (2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为,                             --7分   于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理， 得 ---8分,由得---9分 设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况： （1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是 ------11分 ②当k时，线段AB的垂直平分线方程为 令x=0，解得  由 整理得 ---13分,综上。--------14分 21. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为?=10,曲线C′的参数方程为(?为参数). (I)判断两曲线C和C′的位置关系； (Ⅱ)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程。 参考答案： 22. (满分12分) 在中，A、B、C是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知    （I）求角A的大小；    （II）若求角B的大小。 参考答案：