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福建省宁德市福鼎第二十一中学高二数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 当时,下面的程序段输出的结果是( )
IF THEN
ELSE
PRINT y
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
2. (5分)函数f(x)=2x﹣sinx在(﹣∞,+∞)上( )
A.有最小值 B. 是减函数 C. 有最大值 D. 是增函数
参考答案:
A
3. “”是“直线平行于直线”的(***)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
略
4. 已知为实数,且,则“”是“”的( )
充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
参考答案:
B
略
5. 当时,则a的取值范围为
A. B. C.(1,4) D.
参考答案:
B
6. 已知集合,,则A∪B等于 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
7. 下调查方式中,不合适的是( )
A.浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率,采用抽查的方式
B.了解某渔场中青鱼的平均重量,采用抽查的方式
C.了解iphone6s手机的使用寿命,采用普查的方式
D.了解一批汽车的刹车性能,采用普查的方式
参考答案:
C
【考点】收集数据的方法.
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似解答.
【解答】解:浙江卫视“奔跑吧兄弟”综艺节目的收视率,采用抽查的方式合适,A不合题意;
了解某渔场中青鱼的平均重量,采用抽查的方式合适,B不合题意;
了解iPhone6s手机的使用寿命,采用普查的方式不合适,C符合题意;
了解一批汽车的刹车性能,采用普查的方式合适,D不合题意,
故选:C.
8. 若关于x的不等式对任意恒成立,则m的取值范围是( )
A. B . C. D.
参考答案:
B
9. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中数据,求这个几何体的体积是( )
A. B. C. D. 2
参考答案:
B
由三视图知:该几何体为三棱锥,其中三棱锥的底面为等腰三角形,此等腰三角形的底边长为2,高为2;三棱锥的高为2,所以该几何体的体积为。
10. 下列四个几何体中,几何体只有正视图和侧视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知|2x﹣3|≤1的解集为[m,n],则m+n的值为 .
参考答案:
3
【考点】其他不等式的解法.
【分析】由|2x﹣3|≤1,可得﹣1≤2x﹣3≤1,求得1≤x≤2.再根据|2x﹣3|≤1的解集为[m,n],可得m和n的值,可得 m+n的值
【解答】解:(1)由|2x﹣3|≤1,可得﹣1≤2x﹣3≤1,求得1≤x≤2.
再根据|2x﹣3|≤1的解集为[m,n],可得m=1,n=2,∴m+n=3,
故答案为:3
12. 下图是一次考试结果的频率分布直方图,若规定60分以上(含60)为考试合格,则这次考试的合格率为
参考答案:
0.72
13. 已知曲线上一点P处的切线与直线平行,则点P的坐标为___________.
参考答案:
略
14. 过抛物线y2=ax的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+ x2=8且AB=12,则a= .
参考答案:
8
15. 设分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆上,若△为直角三角形,则△的面积等于________.
参考答案:
6
略
16. 做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为____.
参考答案:
3
【分析】
设圆柱的高为h,半径为r,得πr2h=27π,即,要使用料最省即求全面积的最小值,将S全面积表示为r的函数,令S=f(r),结合导数可判断函数f(r)的单调性,进而可求函数取得最小值时的半径
【详解】用料最省,即水桶的表面积最小.
设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则πr2h=27π,即水桶的高为,所以(r>0).求导数,得.令S′=0,解得r=3.
当0<r<3时,S′<0;当r>3时,S′>0.
所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
故答案为3
【点睛】本题主要考查导数的实际应用,圆柱的体积公式及表面积的最值的求解,解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题,根据已学知识进行解决.
17. 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率 P(B|A)=
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图所示,四棱锥的底面是正方形,每条侧棱长都是底面边长的倍,为侧棱上的点.
(1)求证:;
(2)若平面,则侧棱上是否存在一点,使得平面.
若存在,求的值;若不存在,试说明理由.
参考答案:
(1)证明:据题意可知四棱锥为正四棱锥,连接交于 ………………2分
面,且,
为在底面内的射影, …………………4分
由三垂线定理,可得 ……………6分
(2)解:如图建立空间直角坐标系,令,则,
,,,
,
令,
…………9分
由平面知为平面的一个法向量,
平面
, ……………11分
为靠近点的三等分点,即 ………13分
略
19. (原创)(本小题满分12分)如图,已知椭圆的离心率是,分别是椭圆的左、右两个顶点,点是椭圆的右焦点。点是轴上位于右侧的一点,且满足。
(1)求椭圆的方程以及点的坐标;
(2)过点作轴的垂线,再作直线与椭圆有且仅有一个公共点,直线交直线于点。求证:以线段为直径的圆恒过定点,并求出定点的坐标。
参考答案:
(1),设,由有,又,,于是
,又,
,又,,椭圆,且。
(2),设,由
,
由于(*),
而由韦达定理:,
,,
设以线段为直径的圆上任意一点,由有
由对称性知定点在轴上,令,取时满足上式,故过定点。
20. (14分)已知函数
(1)求证:
(2)求不等式 的解集
参考答案:
证明:(1) 当
所以
(2)解:由(1)知,当的解集为空集,
当
当
综上知,不等式
21. 已知点A的坐标为,直线的方程为3+-2=0,求:
(1)点A关于直线的对称点A′的坐标; (2)直线关于点A的对称直线的方程.
参考答案:
解析:(1)设点A′的坐标为(′,′). 因为点A与A′关于直线对称,所以AA′⊥,且AA′的中点在上,而直线的斜率是-3,所以′=.
又因为=.
又直线的方程为3+-2=0,AA′中点坐标(),所以3·-2=0.
由①和②,解得′=2,′=6. 所以A′点的坐标为(2,6).
(2)关于点A对称的两直线与互相平行,于是可设的方程为3++c=0. 在直线上任取一点M(0,2),其关于点A对称的点为M′(′,′),于是M′点在上,且MM′的中点为点A,由此得,即:′=-8,′=6.
于是有M′(-8,6).因为M′点在上,所以3(-8)+6+=0,∴=18.
故直线的方程为3++18=0 .
22. 光线从原点O(0,0)出发,经过直线m:8x+6y=25反射后通过点P(﹣4,3),求反射光线所在直线的方程.
参考答案:
【考点】确定直线位置的几何要素.
【专题】数形结合;转化法;直线与圆.
【分析】根据反射定律可得点(﹣4,3)关于直线l的对称点M(a,b)在入射光线所在的直线上,利用垂直及中点在对称轴上这两个条件,求出点M的坐标,再求反射光线所在的直线方程.
【解答】解:根据反射定律可得点(﹣4,3)关于直线l的对称点M(a,b)在入射光线所在的直线上,
所以,
化简得,
解得,
即M(,);
所以直线OM的方程为y=x,
联立直线8x+6y=25,可得交点为(,3),
所以反射光线所在直线的方程为y=3.
【点评】本题考查了直线方程的应用问题,也考查了利用点关于某直线的对称、垂直及与中点的应用问题,是基础题目.
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