福建省三明市初级中学高二数学理月考试题含解析

福建省三明市初级中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 双曲线的渐近线方程是（    ） A．   B．       C．     D． 参考答案： C 2. 若双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程是（     ） A.     B.      C.        D. 参考答案： D 3. 4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得分，答错得分；选乙题答对得分，答错得分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是(　　)        A．48　　            B．44　                C．36　　            D．24 参考答案： B 略 4. 已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的含义与物理意义． 【专题】平面向量及应用． 【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案． 【解答】解：，， 则向量方向上的投影为： ?cos＜＞=?===， 故选A． 【点评】本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键． 5. 已知空间向量，，，则下列结论正确的是（  ） A．a∥c且a∥b  B．a⊥b且a⊥c C．a∥c且a⊥b D．以上都不对 参考答案： C 6. (本小题满分10分)记函数的定义域为，的定义域为， （1）求：    （2）若，求、的取值范围。 参考答案： 略 7. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： （1）；       （2）； （3） ；      （4）； 其中正确命题的序号是                                                (      ) A．（1）（2）         B．（2）（3）           C．（3）（4）           D．（1）（4） 参考答案： A 8. 已知△ABC中，,,,那么角A等于       （    ） A.135°     B.90° C.45°    D.30° 参考答案： C 略 9. 设双曲线(a＞0,b＞0)的右焦点为，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a+，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是（    ）． A．(－1,0)∪(0,1)         B．(－∞, －1) ∪(1，+ ∞) C．(－，0)∪(0，) D． (－∞, －) ∪(，+ ∞) 参考答案： A 解：如图，轴于点，，，点在轴上，由射影定理得，，， 解得， 解得，则，即且． 故选． 10. 已知F是抛物线y2＝x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A．      B．1        C．      D． 参考答案： C 试题分析：：∵F是抛物线y2＝x的焦点， F（，0）准线方程x=?， 设A，B， 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=， ∴|AF|+|BF|= 解得， ∴线段AB的中点横坐标为， ∴线段AB的中点到y轴的距离为． 考点：抛物线的简单性质 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若（O为坐标原点），则          ． 参考答案： 5 过B引准线的垂线，垂足为N，连接AN，易知：A、O、N三点共线， ∴，即 故答案为：5   12. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表   根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为     ． 参考答案： 万元 略 13. 命题“”是命题“”的______条件. 参考答案： 必要不充分 【分析】 求出方程的解后可判断两者之间的条件关系. 【详解】的解为或， 所以当“”成立时，则“”未必成立； 若“”，则“”成立， 故命题“”是命题“”必要不充分条件，填必要不充分. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件. 14. 求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积为_______。 参考答案： 略 15. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_________． 参考答案： 分析：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系,求出，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 详解： 如图，为坐标原点，为轴，为轴， 为轴建立空间坐标系， ， ， ， 设异面直线与成角为， ，故答案为. 点睛：本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 16. 双曲线的中心在坐标原点，离心率等于， 一个焦点的坐标为，则此双曲线的方程是                       ．   参考答案： 略 17. 在平面几何中，有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有．”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面，点在底面上的射影为,则有___ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆，过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于两点，设. （1）       求的最小值； （2）       若直线存在斜率，且斜率，求的取值范围. 参考答案： 解：（1）方法一：椭圆的右焦点为，设直线的方程为， 代入椭圆方程，消去得 则则 （1）方法二： 联立方程得 代入上式得 （2）令联立方程消去得 代入得 消去得 解得，故范围是且     略 19. （本小题12分）已知：双曲线的左、右焦点分别为、，动点满足。 （1）求：动点的轨迹的方程； （2）若是曲线上的一个动点，求：的最大值和最小值． 参考答案： 解：（1）∵双曲线的左、右焦点分别为、          ∴        ∵ ∴p点的轨迹为椭圆： ∴动点的轨迹为：……………………………4分 （2）设的坐标为 ，…………………8分 = ∵ ∴的最大值4，最小值2……………………………12分 20. 已知抛物线的焦点为F，准线为，点，A在上的射影为B，且是边长为4的正三角形. （1）求p； （2）过点F作两条相互垂直的直线与C交于P，Q两点，与C交于M，N两点，设的面积为的面积为（O为坐标原点），求的最小值. 参考答案： （1）2；（2）16. 【分析】 （1）设准线与轴的交点为点，利用解直角三角形可得 . （2）直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理可用关于的关系式表示，同理可用关于的关系式表示，最后用基本不等式可求的最小值. 【详解】（1）解：设准线与轴交点为点，连结， 因为是正三角形，且， 在中，， 所以. （2）设，直线，由知， 联立方程：，消得. 因为，所以， 所以， 又原点到直线的距离为， 所以，同理， 所以，当且仅当时取等号. 故的最小值为. 【点睛】圆锥曲线中的最值问题，往往需要利用韦达定理构建目标的函数关系式，自变量可以为斜率或点的横、纵坐标等.而目标函数的最值可以通过基本不等式或导数等求得. 21. （13分）数列{an}满足a1=1，=+1，n∈N*． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=3n?，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）判断数列{}是等差数列，然后求解通项公式． （2）利用错位相减法求解数列的和即可． 【解答】（本小题12分） （1）解：由已知可得﹣=1，…． 所以是以=1为首项，1为公差的等差数列．得=1+（n﹣1）?1=n， 所以an=n2，… （2）由（1）得an=n2，从而bn=n?3n…． Sn=1×31+2×32+3×33+…+n?3n① 3Sn=1×32+2×33+3×34+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1② ①﹣②得：﹣2Sn=31+32+33+…+3n﹣n?3n+1 =﹣n?3n+1=．…． 所以Sn=．…． 【点评】本题考查数列的通项公式的应用，数列求和的方法，考查计算能力． 22. 在△ABC中，已知sinB=cosAsinC （1）判断△ABC的形状 （2）若?=9，又△ABC的面积等于6．求△ABC的三边之长； （3）在（2）的条件下，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，求d1+d2+d3的取值范围． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】数形结合；数形结合法；解三角形；不等式的解法及应用． 【分析】（1）由题意和三角形的知识可得cosC=0，可得C=90°，△ABC为直角三角形； （2）由数量积的意义可得?=||2=9，可得AC=3，再由三角形的面积公式可得BC=4，由勾股定理可得AB=5； （3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，设P的坐标为（x，y），可得d1+d2+d3=，且，令x+2y=m，由线性规划的知识可得． 【解答】解：（1）∵在△ABC中sinB=cosAsinC， ∴sin（A+C）=cosAsinC， ∴sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC， ∴sinAcosC=0，即cosC=0，C=90°， ∴△ABC为直角三角形； （2）∵?=||2=9，解得AC=3， 又ABC的面积S=×3×BC=6，∴BC=4， 由勾股定理可得AB=5； （3）以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系， 则A（3，0），B（0，4），可得直线AB的方程为+=1，即4x+3y﹣12=0， 设P的坐标为（x，y），则d1+d2+d3=x+y+，且， ∴d1+d2+d3=x+y﹣=， 令x+2y=m，由线性规划的知识可知0≤m≤8 ∴d1+d2+d3的取值范围为[，4] 【点评】本题考查解三角形，涉及向量的知识和简单线性规划，数形结合是解决问题的关键，属中档题．