湖南省衡阳市茶山中学高三数学理联考试卷含解析

湖南省衡阳市茶山中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是     （A）3        （B）5         （C）           （D） 参考答案： 【解析】　D 解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线，则左焦点到右准线的距离为，左焦点到右准线的距离为 ，依题即， ∴双曲线的离心率 2. 执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（    ） A．6         B． 10      C. 4        D．8 参考答案： D 模拟执行程序框图，可得 n=1，S=1 不满足条件n＞k，n=4，S=6 不满足条件n＞k，n=7，S=19 不满足条件n＞k，n=10，S=48 由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48， 故应有：7＜k＜10,故k可以取值8. 3. 命题“?x＞0，＞0”的否定是（　　） A．?x＜0，≤0 B．?x＞0，0≤x＜1 C．?x＞0，≤0 D．?x＜0，0≤x≤1 参考答案： B 【考点】命题的否定． 【分析】写出命题“?x＞0，＞0”的否定，再等价转化即可得到答案． 【解答】解：命题“?x＞0，＞0”的否定是“?x＞0，≤0“，又由≤0得0≤x＜1”， 故命题“?x＞0，＞0”的否定是“?x＞0，0≤x＜1”， 故选：B． 4. 若f（x）是奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣ex的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（　　） A．y=f（﹣x）ex﹣1 B．y=f（x）e﹣x+1 C．y=f（x）ex+1 D．y=f（x）ex﹣1 参考答案： A 【考点】函数的零点． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），因为x0是y=f（x）﹣ex的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断． 【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x） 且x0是y=f（x）﹣ex的一个零点，∴f（x0）﹣=0，∴f（x0）=，把﹣x0分别代入下面四个选项， A、y=f（x0）﹣1=﹣﹣1=0，故A正确； B、y=f（x0）+1=（）2+1≠0，故B错误； C、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e﹣x0f（x0）+1=﹣e﹣x0+1=﹣1+1=0，故C正确； D、y=f（﹣x0）﹣1=﹣1﹣1=﹣2，故D错误； 故选：A． 【点评】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证． 17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（   ） （A）充分条件      （B）必要条件 （C）充分必要条件  （D）既非充分又非必要条件 参考答案： A 6. 在△中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,则的最大值是(    ) A.  1          B.             C.          D.  2 参考答案： A 由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAsinB=sinBcosA，即sinA=cosA， ∴tanA=1，即A=， ∴sinB﹣cosC=sinB﹣cos（﹣B）=sinB﹣coscosB﹣sinsinB=sinB+cosB=sin（B+）， ∵0＜B＜，即＜B+＜π， ∴0≤sin（B+）≤1， 则sinB﹣cosC的最大值为1． 7. 已知定义在R上的偶函数，满足，且在区间上是增函数，则              （     ） A．＜＜                B．＜＜ C．＜＜                D．＜＜ 参考答案： B 8. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（　　） A．6 B．8 C．8 D．12 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可． 【解答】解：设棱柱的高为h， 由左视图知，底面正三角形的高是，由正三角形的性质知，其边长是4， 故底面三角形的面积是 =4 由于其体积为，故有h×=，得h=3 由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×= 故选A 9. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 A．4650元                    B．4700元                      C．4900元                        D．5000元 参考答案： C 略 10. 已知直线与平行，则的值是 A.1或3     B.1或5     C.3或5     D.1或2 参考答案： C 若，则两直线为，，此时两直线平行，所以满足条件。当时，要使两直线平行，则有，即，解得，综上满足条件的值为或，选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）在一个样本的频率分布直方图中，共有5个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其他4个小矩形的面积和的，且中间一组的频数为25，则样本容量为　　． 参考答案： 100 【考点】： 频率分布直方图． 【专题】： 概率与统计． 【分析】： 根据频率分布直方图，求出中间一组数据的频率，由频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量是多少． 解：根据频率分布直方图，得； 中间一组数据的频率为=0.25， 它的频数为25， ∴样本容量为 25÷0.25=100． 故答案为：100． 【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图中各小矩形的面积和等于1，求出对应的频率，即可求出正确的答案，是基础题． 12. 已知向量a＝(3，4)，b＝(－1，m)，且b在a方向上的投影为1，则实数m＝         参考答案： 2 13. 已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围为         .   参考答案： 略 14. （4分）设函数若f（x）＞4，则x的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 【考点】： 指数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法． 【专题】： 计算题；分类讨论． 【分析】： 本题中的函数是一个分段函数，因此在解答时要分别讨论x＞1和x≤1两种情况下的不等式的解集，然后求其并集． 解：∵， ∴当x＜1时，由2﹣x＞4=22，得﹣x＞2，解得x＜﹣2； 当x≥1时，由x2＞4，解得x＞2或x＜﹣2，∴x＞2； 综上所述，x＜﹣2或x＞2， 故答案为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）． 【点评】： 本题通过解不等式，综合考查了指数函数的单调性和分段函数的有关知识，运用了分类讨论的数学思想，难度中等． 15. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解）糖水变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式___________________。 参考答案： 16. 对于连续函数和,函数在闭区间［］上的最大值为与在闭区间［］上的“绝对差”，记为则=           参考答案： 略 17. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时 且，则不等式的解集为                         ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分l5分)     已知函数.     (I)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (II)对任意b>0，f(x)在区间[b-lnb，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围. 参考答案： (Ⅰ)  ks5u (Ⅱ)  19. （12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495】，（495，500】，……，（510，515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4 （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。 参考答案： 略 20. （本小题满分12分）  现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。 （Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率； （Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX 参考答案： 解：（Ⅰ）； （Ⅱ） , X 0 1 2 3 4 5 P EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×= 21. 如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点F1，F2和短轴的一个端点A构成等边三角形， 点(，)在椭圆C上，直线l为椭圆C的左准线． （1） 求椭圆C的方程； （2） 点P是椭圆C上的动点，PQ ⊥l，垂足为Q． 是否存在点P，使得△F1PQ为等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．   参考答案： （1）椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知△AF1F2为正三角形，所以       sin∠AF1O＝＝，所以＝，＝．       设b2＝3λ，a2＝4λ，椭圆方程为＋＝λ． 椭圆经过点(，)，解得λ＝1，所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1． （2）由＝e＝，得PF1＝PQ．所以PF1≠PQ． ①若PF1＝F1Q，则PF1＋F1Q＝PQ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾， 所以PF1不可能与PQ相等 ②若F1Q＝PQ，设P(x，y)(x≠±2)，则Q(－4，y)．∴＝4＋x， ∴9＋y2＝16＋8x＋x2，又由＋＝1，得y2＝3－x2． ∴9＋3－x2＝16＋8x＋x2，∴x2＋8x＋4＝0． ∴7x2＋32x＋16＝0．∴x＝－或x＝－4． 因为x∈(－2，2)，所以x＝－．所以P(－，±)． 存在点P(－，±)，使△PF1Q为等腰三角形 22. 设椭圆，以短轴为直径的圆面积为，椭圆上的点到左焦点的最小距离是，为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆和圆的方程； （Ⅱ）如图，为椭圆的左右顶点，分别为圆和椭圆上的点，且轴，若直线分别交轴于两点（分别位于轴的左、右两侧）. 求证：，并求当时直线的方程. 参考答案： （1）由题意知∴， 故所求椭圆方程为，圆 （2）设，直线（易知斜率存在且不为0）将直线与联立得：，即所以直线的斜率为，从而的方程为 所以，设，则 所以 故 此时，当时，可得或者，故或者，所以直线的方程为或者或者