湖北省咸宁市通城县马港中学高二数学文下学期期末试卷含解析

湖北省咸宁市通城县马港中学高二数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若不等式的解集为，则a－b的值是 A.－10     B.－14       C.10          D.14 参考答案： A 略 2. 直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A、B两点，过A、B两点向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为P、Q，则梯形APQB的面积为（　　） A．36 B．48 C．56 D．64 参考答案： B 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】依题意联立方程组消去y，进而求得交点的坐标，进而根据|AP|，|BQ|和|PQ|的值求得梯形APQB的面积． 【解答】解：直线y=x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点， 过A，B两点向抛物线的准线：x=﹣1作垂线，垂足分别为P，Q， 联立方程组得， 消元得x2﹣10x+9=0， 解得，和， 即有A（9，6），B（1，﹣2）， 即有|AP|=10，|BQ|=2，|PQ|=8， 梯形APQB的面积为×（10+2）×8=48， 故选B． 【点评】本题主要考查了抛物线与直线的关系．常需要把直线与抛物线方程联立根据韦达定理找到解决问题的途径． 3. 若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（　　） A． B． C．（1，5） D． 参考答案： B 【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【专题】三角函数的图像与性质；空间向量及应用． 【分析】根据两点间的距离公式，结合三角函数的恒等变换，求出||的取值范围． 【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1）， ∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2 =9+4﹣12（cosacosb+sinasinb） =13﹣12cos（a﹣b）； ∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1， ∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25， ∴||的取值范围是． 故选：B． 【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换与应用问题，是基础题目． 4. 曲线与曲线的（     ） A.长轴长相等                   B. 短轴长相等 C.离心率相等                   D.焦距相等 参考答案： D 略 5. 在100件产品中有6件次品,现从中任取3件产品,至少有1件次品的不同取法的种数是( ） A．          B.CC        C.C－C        D.A－A 参考答案： C 6. 计算：（log43+log83）（log32+log92）=（　　） A． B． C．5 D．15 参考答案： A 【考点】对数的运算性质． 【分析】化简（log43+log83）（log32+log92）=（log23+log23）（log32+log32），且log23?log32=1，从而解得． 【解答】解：（log43+log83）（log32+log92） =（log23+log23）（log32+log32） =log23?log32 =； 故选：A． 　 7. 我们把满足勾股定理的正整数称为勾股数，当n为大于1的奇数时，可通过等式构造勾股数．类似地，当n为大于2的偶数时，下列三个数为勾股数的是（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 根据勾股数的定义，当为大于2的偶数时，对选项分别判断即可. 【详解】对于A：当n为偶数时，不是整数，所以不是勾股数； 对于B：，所以不是勾股数； 对于C：，所以不是勾股数； 对于D:当n为偶数时，都是整数，且，所以是勾股数. 故选:D． 【点睛】本题考查了勾股数定义的判断，也考查了勾股定理的应用，属于基础题. 8. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（　　） A．1 B． C． D． 参考答案： A 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设|MF|=a，|NF|=b，由抛物线定义，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|MN|的范围，即可得到答案． 【解答】解：设|MF|=a，|NF|=b． 由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b， 由勾股定理得，|MN|2=a2+b2配方得， |MN|2=（a+b）2﹣2ab， 又ab≤， ∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2， 得到|MN|≥（a+b）． ∴≤=，即的最大值为． 故选A． 9. 点A关于点的对称点C的坐标是 A．           B．       C．           D． 参考答案： A 10. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3=8，则S5=（　　） A．16 B．24 C．32 D．40 参考答案： D 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】由题意和等差数列的求和公式以及性质可得S5=5a3，代值计算可得． 【解答】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a3=8， ∴S5===5a3=5×8=40 故选：D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则       ． 参考答案： 略 12. 定积分的值是        参考答案： 2 13. 已知 ，则的最小值是________________      . 参考答案： -6 14. 如果a＞0，那么a++2的最小值是　    　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵a＞0， ∴a++2≥2+2=4，当且仅当a=1时取等号． ∴a++2的最小值是4． 故答案为：4． 15. 不等式的解集为                         ； 参考答案： 16. 已知，，，…，则与最接近的正整数是_______________. 参考答案： 2 17. 观察下列等式：23﹣13＝3×2×1＋1，33﹣23＝3×3×2＋1，43﹣33＝3×4×3＋1，53﹣43＝3×5×4＋1，…，照此规律，第n（n）个等式可以为“(n＋1)3﹣n 3＝    ”． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线和点，点为第一象限内的点且在直线上，直线交轴正半轴于点， （1）当时，求所在直线的直线方程； （2）求△面积的最小值，并求当△面积取最小值时的的坐标. 参考答案： 解：（1） （2）， ， 。 略 19. （12分）（2015秋?洛阳期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且csinA=acosC． （1）求角C； （2）若c=，且sinC=3sin2A+sin（A﹣B），求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理．  【专题】解三角形． 【分析】（1）由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，由sinA≠0，可求tanC=，结合范围0＜C＜π，即可求得C的值． （2）由已知可得2cosAsinB=6sinAcosA，当cosA≠0时，解得b=3a，利用余弦定理可求a，b，根据三角形面积公式即可得解，当cosA=0时，可求A=90°，求得b=ctan30°的值，即可解得三角形面积． 【解答】解：（1）∵csinA=acosC．由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC， ∵sinA≠0，∴tanC=， ∵0＜C＜π，∴C=…4分 （2）∵sinC=sin（π﹣A﹣B）=3sin2A+sin（A﹣B）， ∴2cosAsinB=6sinAcosA， 当cosA≠0时，sinB=3sinA，∴b=3a， ， ∴a=，b=，S==， 当cosA=0时，A=90°，b=ctan30°=，S=bc=…12分 【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查． 20. （本题满分10分）在中，角所对的边为，且满足 （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若且，求的取值范围． 参考答案： 21. （本小题满分13分）如图，在四棱锥中，丄平面，丄，∠BCA，,DC= (Ⅰ) 证明丄； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）设E为棱上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为，求AE的长. 参考答案： （Ⅰ）∵在中，AD＝2，,DC= ∴    ∴    ……………………1分 如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B，P（0,0,2）， 易得于是， 所以PC⊥AD.                                             ……4分 （Ⅱ）设平面PCD的一个法向量则 不妨令，可得，可取平面PAC的一个法向量，于是 从而所以二面角A-PC-D的正弦值为.……8分 （Ⅲ）设点E的坐标为（0,0,h）,其中，由此得由故， 所以，解得，即.……13分 22. 设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为． （1）求这个椭圆的方程； （2）若这个椭圆左焦点为F1，右焦点为F2，过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积． 参考答案： 【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（1）设椭圆的方程为，有条件求得a 和c，从而求得b，进而得到椭圆的方程． （2）把直线AB的方程 代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|y1﹣y2|的值，利用S△ABF2=+=+ 求得结果． 【解答】解：（1）设椭圆的方程为， 由题意，a=2， =，∴c=，b=1， ∴椭圆的方程为． （2）左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0），设A（x1，y1 ）， B（x2，y2）， 则直线AB的方程为 y=x+． 由，消x得 5y2﹣2y﹣1=0．∴y1+y2=，y1y2=﹣， ∴|y1﹣y2|==． ∴S△ABF2=+=+ ===． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，利用 S△ABF2=+ 是解题的难点．