浙江省衢州市何田中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析

浙江省衢州市何田中学2022-2023学年高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合A={﹣， }，B={x|ax+1=0}}，且B?A，则a的可取值组成的集合为（　　） A．{﹣3，2} B．{﹣3，0，2} C．{3，﹣2} D．{3，0，﹣2} 参考答案： D 【考点】2E：复合命题的真假． 【分析】通过讨论a=0和a≠0，求出a的值即可． 【解答】解：a=0?B=?，满足条件； a≠0时，由﹣=﹣或﹣=得a=3，﹣2， 故a的可取值组成的集合为{3，0，﹣2}， 故选：D． 2. 设等差数列的前n项和为，若，则m=（    ） A．3            B．4             C．5             D．6 参考答案： C 略 3. 若集合，，则等于(    ) (A)    (B)   (C)    (D) 参考答案： B 4. 已知点在曲线上，⊙过原点，且与轴的另一个交点为，若线段，⊙和曲线上分别存在点、点和点，使得四边形（点，，，顺时针排列）是正方形，则称点为曲线的“完美点”．那么下列结论中正确的是（    ）． A．曲线上不存在”完美点” B．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于 C．曲线上只存在一个“完美点”，其横坐标大于且小于 D．曲线上存在两个“完美点”，其横坐标均大于 参考答案： B 如图，如果点为“完美点”则有，以为圆心，为半径作圆（如图中虚线圆）交轴于，（可重合），交抛物线于点，当且仅当时，在圆上总存在点，使得为的角平分线，即，利用余弦定理可求得此时，即四边形是正方形，即点为“完美点”，如图，结合图象可知，点一定是上方的交点，否则在抛物线上不存在使得，也一定是上方的点，否则，，，，不是顺时针，再考虑当点横坐标越来越大时，的变化情况： 设，当时，，此时圆与轴相离，此时点不是“完美点”，故只需要考虑，当增加时，越来越小，且趋近于，而当时，；故曲线上存在唯一一个“完美点”其横坐标大于．故选． 5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，a8+a10=28，则S9=（　　） A．36 B．72 C．144 D．288 参考答案： B 【考点】等差数列的前n项和． 【分析】设出公差d，由a8+a10=28求出公差d，求利用前n项和公式求解S9得答案． 【解答】解：等差数列的首项为a1=2，设公差为d， 由a8=a1+7d，a10=a1+9d=3（a1+d）， ∵a8+a10=28 即4+16d=28 得d=， 那么S9==72． 故选B． 6. 奇函数f（x）、偶函数g（x）的图象分别如图1、2所示，方程f（g（x））=0、g（f（x））=0的实根个数分别为a、b，则a+b=(     ) A．14 B．10 C．7 D．3 参考答案： B 考点：奇偶函数图象的对称性． 专题：计算题． 分析：先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象，再利用图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可 解答： 解：由图可知，图1为f（x）图象，图2为g（x）的图象，m∈（﹣2，﹣1），n∈（1，2） ∴方程f（g（x））=0?g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1?x=﹣1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=﹣2，x=2，∴方程f（g（x））=0有7个根，即a=7； 而方程g（f（x））=0?f（x）=a或f（x）=0或f（x）=b?f（x）=0?x=﹣1，x=0，x=1，∴方程g（f（x））=0有3个根，即b=3 ∴a+b=10 故选 B 点评：本题主要考查了函数奇偶性的图象性质，利用函数图象解方程的方法，数形结合的思想方法，属基础题 7. 函数y=cos2(x﹣)的一条对称轴为（　　） A．x=﹣ B．x= C． x= D．x=﹣ 参考答案： D 【考点】弧长公式；二倍角的余弦． 【分析】利用倍角公式可得函数y=cos（2x﹣）+，由2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程，k取值为﹣1即可得出． 【解答】解：∵==cos（2x﹣）+， ∴令2x﹣=kπ，k∈Z，解得对称轴方程为：x=+，k∈Z， ∴当k=﹣1时，一条对称轴为x=﹣． 故选：D． 　 8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(X=4)＜P(X=6)，则p= A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 参考答案： B 或 ， , 可知 , 故答案选B.   9. 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线右支上，且△F1PF2为锐角三角形，则的取值范围（    ） A．(3,8)    B．(3,8]     C．    D． 参考答案： D 10. 已知，则(    ) A．         B．       C.         D． 参考答案： C 由已知 则 故选C.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若二次函数有零点，则实数的取值范围是                 ． 参考答案： 且 12. 已知a＜0，则关于x的不等式的解集为　    　． 参考答案： （2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a） 【考点】R2：绝对值不等式． 【分析】把不等式转化为0＜|x+a|＜﹣3a，利用绝对值不等式的几何意义，即可求出不等式的解集． 【解答】解：因为a＜0，则关于x的不等式，所以不等式0＜|x+a|＜﹣3a， 根据绝对值不等式的几何意义：数轴上的点到﹣a的距离大于0并且小于﹣3a， 可知不等式的解集为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）． 故答案为：（2a，﹣a）∪（﹣a，﹣4a）． 13. 已知函数，则=___________。 参考答案： 0 14. 已知是上的奇函数，若，且，则         . 参考答案： 5 15. 如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的 概率为        ; 参考答案：   16. 数列的前n项和为，则      . 参考答案： 17. 若的展开式中的系数为7，则实数_________． 参考答案： -1/2 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点. （1）求证：不是直角三角形； （2）当的斜率为时，抛物线上是否存在点C，使为直角三角形且B为直角（点B位于轴下方）？若存在，求出所有的点C；若不存在，说明理由 参考答案： （1）①当直线斜率不存在时，显然不是直角三角形②当直线斜率存在时，焦点F为（1，0），过点F且与抛物线交于点A、B的直线可设为代入抛物线得，则有，进而，又 所以为钝角，即不是直角三角形。（2）AB方程：代入抛物线，求得，假设抛物线上存在点使为直角三角形且B为直角，此时，所以，解得对应点B，对应点C，则存在使为直角三角形，故满足条件的点C只有一个， 即。 略 19. 已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上, ,求直线的方程. 参考答案： （1）；（2）或 试题分析：（1）由题意可设，所求椭圆的方程为，且其离心率可由椭圆的方程知，因此，解之得，从而可求出椭圆的方程为. 20. （14分）已知数列{}中，（n≥2，），数列，满足（） （1）求证数列{}是等差数列； （2）若++ 是否存在使得：恒成立.若有，求出如果没有，请说明理由. 参考答案： 解：（1）由题意知　， 　　∴　．               …………3分 　　∴　{}是首项为，公差为1的等差数列．  …………5分 （2）依题意有++ = （ 裂项求和）…………………8分 　设函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）上为减函数． 故当n＝3时，=--  取最小值.…………………………10分 而函数在x＜3.5时，y＜0， ，在（，3.5）上也为减函数． 　　故当n＝2时，取最大值：＝．     …………………………    12分 分别为       …………………………14分 21. 已知函数   <1>求的单调区间和极值； <2>是否存在实常数k和m，使得若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由。 参考答案： <1> 定义域，                 =            3分ks5u        当 当  的单调递减区间是单调递增区间是，        有极小值                             6分  <2> 易知：有一个公共点而函数在点处的切线方程为下面只需验证都成立即可。  9分  设  则  易知在上单调递减，在上单调递增。所以的最小值为所以恒成立。                   12分 设，则， 易知在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，所以恒成立。 故存在这样的实数和，使得时，                             15分 略 22. 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是边长为的正方形，侧棱D1D垂直于底面ABCD，且D1D=3． （1）点P在侧棱C1C上，若CP=1，求证：A1P⊥平面PBD； （2）求三棱锥A1﹣BDC1的体积V． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】（1）依题意可得PB=，A1P=2，A1B=，满足A1P2+PB2=A1B2，可得A1P⊥PB，进而可得A1P⊥PD，由线面垂直的判定定理可得结论； （2）所求几何体的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积，由数据分别求得体积作差可得答案． 【解答】解：（1）依题意，CP=1，C1P=2，在Rt△BCP中，PB==， 同理可知，A1P==2，A1B== 所以A1P2+PB2=A1B2，则A1P⊥PB， 同理可证，A1P⊥PD， 由于PB∩PD=P，PB?平面PBD，PD?平面PBD， 所以，A1P⊥平面PBD． （2）如图，易知三棱锥A1﹣BDC1的体积等于四棱柱的体积减去四个体积相等的三棱锥的体积， 即=﹣4 =AB×AD×A1A﹣4×（AB×AD）×A1A ==2 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，涉及三棱锥体积的求解，属中档题．