河南省郑州市登封少林中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析

河南省郑州市登封少林中学2022-2023学年高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下： 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3   以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（     ） A. 18    B. 17    C. 16    D. 15 参考答案： B 2. 执行如图所示的程序框图，输入的x值为2，则输出的x的值为（   ） A． 2        B． 3      C.  4       D．5 参考答案： D 模拟执行程序，可得x=2，i=1，满足条件i≤2，执行循环体，x=3，i=2，满足条件i≤2，执行循环体，x=5，i=3，不满足条件i≤2，退出循环，输出x的值为5，故选D.   3. 已知，则的大小关系为 、     、      、          、 参考答案： 已知，由指数函数性质易知，又，故选. 另：，，亦得. 4. 已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点 且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲 线的离心率的取值范围为（    ） A．      　　　B．        　C．          D． 参考答案： A 由于为等腰三角形，可知只需即可，即 ，化简得． 5. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列几种说法正确的是（　　） A．A1B∥D1B B．AC1⊥B1C C．A1B与平面DBD1B1成角为45° D．A1B，B1C成角为30° 参考答案： B 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】由图可知A错误；由线面垂直的判定与性质可B正确；分别求出线面角及异面直线所成角判定C、D错误． 【解答】解：如图， A1B∩D1B=B，故A错误； 连接BC1，则BC1⊥B1C，又AB⊥B1C，AB∩BC1=B， ∴B1C⊥平面ABC1，则AC1⊥B1C，故B正确； 连接A1C1，交B1D1=O，连接BO，则∠A1BO为A1B与平面DBD1B1成角， 在Rt△A1OB中，sin，∴A1B与平面DBD1B1成角为30°，故C错误； 连接A1D，则A1D∥B1C，连接BD，可得△A1BD为等边三角形，则∠A1DB为60°， 即A1B，B1C成角为60°，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题． 6. 若函数(a>0且)在(∞，+∞)上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是 参考答案： C 略 7. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则    (    ) A．        B．          C．3       D．5 参考答案： B 略 8. 已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围为（　　） A．（﹣，] B．（﹣∞，] C．（﹣，） D．（﹣∞，） 参考答案： D 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值即可． 【解答】解：由已知得到可行域如图：则的几何意义表示区域内的点与（0，﹣1）连接的直线斜率，所以与A连接的直线斜率最大，与O连接直线斜率最小， 故则的取值范围为（﹣∞，）； 故选D． 【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域是前提，利用目标函数的几何意义求最值是关键，利用了数形结合的思想． 9. .已知集合，，则（　　） A. B. C.     D. 参考答案： B 【分析】 集合研究对象是定义域，集合的研究对象是值域，分别求得的范围，由此得出选项. 【详解】集合研究对象是定义域，即，解得.集合的研究对象是值域，由于，即.所以集合是集合的子集.故选B. 【点睛】本小题主要考查集合的研究对象，考查函数的定义域与函数的值域，还考查了子集的知识，属于基础题. 10. 已知数列{an}是等差数列，m，p，q为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件 C．充要条件                       D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　． 参考答案： 20π 考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积． 解答： 解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2， 所以x=1， 所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π． 故答案为：20π． 点评： 本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键． 12. 若幂函数的图像经过点，则的值是           参考答案： 2 略 13. 已知双曲线C：，A、B是双曲线上关于原点对称的两点，M是双曲线上异于A、B的一点，直线MA、MB的斜率分别记为k1，k2，且k1∈[﹣3，﹣1]，则k2的取值范围是　　． 参考答案： [﹣3，﹣1] 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】设出点A，点M，点B的坐标，求出斜率，将点A，B的坐标代入方程，两式相减，再结合k1∈[﹣3，﹣1]，即可求得结论． 【解答】解：由题意，设A（x1，y1），M（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1） ∴k1?k2=?=， ∵﹣=1，﹣=1， ∴两式相减可得=3 ∵k1∈[﹣3，﹣1]，∴k2∈[﹣3，﹣1]． 故答案为：[﹣3，﹣1]． 【点评】本题考查双曲线的方程，考查双曲线的几何性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，属于中档题． 14. (5分）（2010?泉山区校级模拟）已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为　　． 参考答案： S3 考点： 等比数列的前n项和． 专题： 计算题． 分析： 假设后三个数均未算错，根据题意可得a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．再假设S2算错了，根据题意得到S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．进而得到答案 解答： 解：根据题意可得显然S1是正确的． 假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3， 所以S2、S3中必有一个数算错了． 若S2算错了，则a4=29=a1q3，，显然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾． 所以只可能是S3算错了，此时由a2=12得 ，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设． 答案为S3 点评： 本题考查利用反证的方法来解决从正面不好解决的问题和学生推理的能力． 15. 两圆相交于两点A(1,3)和B（m,-1），两圆圆心都在直线上，则__ 参考答案： 3 16. 若为等比数列，，且，则的最小值为        参考答案： 4 17. 函数满足，，当时，，过点且斜率为的直线与在区间上的图象恰好有3个交点，则的取值范围为_________． 参考答案： ∵，， ∴，即， ∴函数的周期为． 由时，， 则当时，，故， 因此当时，． 结合函数的周期性，画出函数图象如下图所示． 又过点且斜率为的直线方程为． 结合图象可得： 当时，．与联立消去整理得， 由，得或(舍去)， 此时，故不可能有三个交点； 当时，点与点连线的斜率为， 此时直线与有两个交点，又， 若同相切，将两式联立消去整理得， 由，得或 (舍去)， 此时， 所以当时有三个交点． 综上可得的取值范围为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设向量，，x∈R，记函数． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，求△ABC面积的最大值． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用． 【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间． （2）由已知可求sin（2A﹣）=，结合△ABC为锐角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵=sinxcosx+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…3分 ∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z， ∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…5分 （2）∵， ∴sin（2A﹣）=，结合△ABC为锐角三角形，可得：2A﹣=， ∴A=，…7分 ∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：2=b2+c2﹣bc≥（2﹣）bc，（当且仅当b=c时等号成立） ∴bc≤=2+， 又∵sinA=sin=，…10分 ∴S△ABC=bcsinA=bc≤（2+）=，（当且仅当b=c时等号成立） ∴△ABC面积的最大值为…12分 19. 袋中有大小相同的个白球和个黑球，从中任意摸出个，求下列事件发生的概率. (1)摸出个或个白球  (2)至少摸出一个黑球. 参考答案： 解析： （Ⅰ）设摸出的个球中有个白球、个白球分别为事件，则                   ∵为两个互斥事件      ∴          即摸出的个球中有个或个白球的概率为    （Ⅱ）设摸出的个球中全是白球为事件，则          至少摸出一个黑球为事件的对立事件       其概率为 20. （14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．        ⑴ 求椭圆的标准方程； ⑵ 设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值． 参考答案：  解析：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，        ∴不妨设椭圆C的方程为．（2分）         ∴，（ 4分）      即．（5分）         ∴椭圆C的方程为．（6分）     ⑵ F（1，0），右准线为l：， 设，      则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分）      ∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为，（9分）     ∴直线OM的方程为：，点M的坐标为．（11分）     ∴直线MN的斜率为．（12分