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江西省赣州市上江中心学校高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如右上图,则下面结论中错误的一个是 ( )
A.甲的极差是29 B.乙的众数是21
C.甲罚球命中率比乙高 D.甲的中位数是24
参考答案:
D
2. 已知为一次函数,为不等于1的常数,且 ,设 ,则数列为 [ ]
A.等差数列 B.等比数列 C.递增数列 D.递减数列
参考答案:
B
3. 若,则
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 当时,若,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
因为,所以,
所以,因为,
所以,
所以,所以
,所以答案是.
5. 在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.正三角形
参考答案:
B
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】根据三角形三个内角和为180°,把角C变化为A+B,用两角和的正弦公式展开移项合并,公式逆用,得sin(B﹣A)=0,因为角是三角形的内角,所以两角相等,得到三角形是等腰三角形.
【解答】解:由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin(A+B),
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.
∴cosAsinB﹣sinAcosB=0.
∴sin(B﹣A)=0,
∵A和B是三角形的内角,
∴B=A.
故选B
6. 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是BB1、BC的中点.则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )
参考答案:
A
7. 若函数则( )
A. B.2 C.1 D.0
参考答案:
B
8. 某人在打靶中,连续射击2次,事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A.至少有一次中靶 B.两次都中靶 C.两次都不中靶 D.只有一次中靶
参考答案:
B
9. (5分)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是()
A. y=ln(x+2) B. C. D.
参考答案:
A
考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用对数函数的图象和性质可判断A正确;利用幂函数的图象和性质可判断B错误;利用指数函数的图象和性质可判断C正确;利用“对勾”函数的图象和性质可判断D的单调性
解答: A,y=ln(x+2)在(﹣2,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上为增函数,A正确;
B,在[﹣1,+∞)上为减函数;排除B
C,在R上为减函数;排除C
D,在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,排除D
故选 A
点评: 本题主要考查了常见函数的图象和性质,特别是它们的单调性的判断,简单复合函数的单调性,属基础题
10. 直线l过点(-1,2),且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( )
A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知|a|=,|b|=2,a与b的夹角为30°,则|a-b|= .
参考答案:
1
略
12. 若且,则函数的图像经过定点 .
参考答案:
(1,0);
13. _______.
参考答案:
由,可得.表示圆心为(0,0),半径为1的上半圆.
即为该圆位于第二象限部分的面积,即个圆.
所以.
14. 在△ABC中,a=7,b=5,c=3,则A= .
参考答案:
120°
【考点】HR:余弦定理.
【分析】在△ABC中,由 a=7,b=5,c=3,利用余弦定理可得cosA= 的值,从而得到A的值.
【解答】解:在△ABC中,∵a=7,b=5,c=3,由余弦定理可得cosA==﹣,
∴A=120°,
故答案为120°.
15. 已知在R上是奇函数,且满足,当时,,则等于 。
参考答案:
-3
16. 已知集合,,则 .
参考答案:
{0,1,2}
17. 已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O,底面ABCD是正方形,E为AA1的中点,OA⊥平面BDE,则= .
参考答案:
【考点】棱柱的结构特征.
【分析】以D为原点,建立空间直角坐标系OO﹣xyz,利用向量法能求出的值.
【解答】解:以D为原点,建立空间直角坐标系O﹣xyz,
设AB=a,AA1=c,
则A(a,0,0),E(a,0,),D(0,0,0),
B(a,a,0),D(0,0,c),O(),
=(a,0,),=(a,a,0),
=(),
∵OA⊥平面BDE,
∴,解得c=,
∴==.
故答案为:.
【点评】本题考查线段比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (如图)在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】由已知中底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,我们可计算出圆柱的底面半径,代入圆柱表面积公式,即可得到答案.
【解答】解:设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积为S,
底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2,
则圆柱的上底面为中截面,可得r=1
∴2,
∴.
19. (本小题满分12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中BC∥AD,∠BAD=90°,AD=3BC,O是AD上一点.
(1)若CD∥平面PBO,试指出点O的位置,并说明理由;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD.
参考答案:
解:(1)答: O在AD的 处且离D点比较近. ┅┅┅┅┅┅┅2分
理由是:
∵CD∥平面PBO,
CD?平面ABCD,且平面ABCD∩平面PBO=BO,
∴BO∥CD, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
又∵BC∥AD,
∴四边形BCDO为平行四边形,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分
∴BC=DO,
又∵AD=3BC,
∴点O的位置满足=,
即在AD的处且离D点比较近.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
(2)证明:
∵侧面PAD⊥底面ABCD,
AB?底面ABCD,且AB⊥交线AD,
∴AB⊥平面PAD, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分
∵PD平面PAD
∴AB⊥PD. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
又∵PA⊥PD,
PA?平面PAB,AB?平面PAB,
AB∩PA=A, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
∴PD⊥平面PAB. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分
又∵PD?平面PCD,
∴平面PAB⊥平面PCD. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
略
20. (16分)已知函数f1(x)=e|x﹣2a+1|,f2(x)=e|x﹣a|+1,x∈R,1≤a≤6.
(1)若a=2,求使f1(x)=f2(x)的x的值;
(2)若|f1(x)﹣f2(x)|=f2(x)﹣f1(x)对于任意的实数x恒成立,求a的取值范围;
(3)求函数g(x)=﹣在[1,6]上的最小值.
参考答案:
考点: 指数函数综合题;指数型复合函数的性质及应用.
专题: 函数的性质及应用.
分析: (1)若a=2,解方程f1(x)=f2(x)即可求x的值;
(2)若|f1(x)﹣f2(x)|=f2(x)﹣f1(x)对于任意的实数x恒成立,转化为f1(x)≤f2(x)恒成立,即可求a的取值范围;
(3)求出g(x)的表达式,讨论a的取值范围即可求出函数的最值.
解答: (1)若a=2,则f1(x)=e|x﹣3|,f2(x)=e|x﹣2|+1,
由f1(x)=f2(x)得e|x﹣3|=e|x﹣2|+1,
即|x﹣3|=|x﹣2|+1,
若x≥3,则方程等价为x﹣3=x﹣2+1,即﹣3=﹣1,不成立,
若2<x<3,则方程等价为﹣x+3=x﹣2+1,即2x=4,解得x=2,不成立,
若x<2,则方程等价为﹣x+3=﹣x+2+1,此时恒成立;
综上使f1(x)=f2(x)的x的值满足x<2.
(2)即f1(x)≤f2(x)恒成立,得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1,
即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1对x∈R恒成立,
因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|,
故只需|a﹣1|≤1,解得0≤a≤2,
又1≤a≤6,
故a的取值范围为1≤a≤2.
(3)
①当1≤a≤2时,由(2)知,
当x=2a﹣1∈[1,3]时,g(x)min=1.
②当2<a≤6时,(2a﹣1)﹣a=a﹣1>0,
故2a﹣1>a.x≤a时,,;
x≥2a﹣1时,,;
a<x<2a﹣1时,由,得,其中,
故当时,;
当时,.
因此,当2<a≤6时,
令,得x1=2a﹣2,x2=2a,且,如图,
(ⅰ)当a≤6≤2a﹣2,即4≤a≤6时,g(x)min=f2(a)=e;
(ⅱ) 当2a﹣2<6≤2a﹣1,即时,;
(ⅲ) 当2a﹣1<6,即时,g(x)min=f1(2a﹣1)=1.
综上所述,.
点评: 本题主要考查函数性质的应用,利用指数函数的图象和性质是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大,有一定的难度.
21. 在△ABC中,,,,记.求的值域.
参考答案:
【分析】
在中,由正弦定理,得求得,,再根据三角恒等变换的公式,化简得,即可求解.
【详解】在中,由正弦定理,得,
所以,,
所以
由,∴,
所以.
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用,以及三角恒等变换的化简和三角函数的性质的应用,其中解答中根据正弦定理的求得,进而利用三角恒等变换的公式得到的表示是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
22. 设a∈N,b∈N,a+b=2,A={(x,y)|(x-a)2+(y-a)2=5b},(3,2)∈A,求a,b的值.
参考答案:
解:由a+b=2,得b=2-a,
代入(x-a)2+(y-a)2=5b得:
(x-a)2+(y-a)2=5(2-a)①,
又因为(3,2)∈A,将点代入①,可得
(3-a)2+(2-a)2=5(2-a),
整理,得2a2-5a+3=0,
得a=1或1.5(舍去,因为a是自然数),
所以a=1,所以b=2-a=1,
综上,a=1,b=1.
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