湖北省孝感市广水市第四高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析

湖北省孝感市广水市第四高级中学高一数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，若均不相等且，则的取值范围为（    ）    A．           B．         C．     D． 参考答案： C 2. （5分）一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是．（精确到0.1．已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）（） A． 52 B． 6.6 C． 71 D． 83 参考答案： B 考点： 根据实际问题选择函数类型． 专题： 应用题． 分析： 设所需的年数为x，得方程，两边取对数，再用换底公式变形，代入已知数据可得x的近似值，四舍五入即可得出正确答案． 解答： 设该元素的质量衰减到一半时所需要的年数为x，可得 化简，得 即≈6.6 故选B 点评： 本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于基础题． 3. 函数f（x）=sin（2x+φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（　　） A． B．﹣ C． D． 参考答案： D 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值． 【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 4. 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的边长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可 【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥 由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2， 由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为， 将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为， 可求得此两侧面的面积皆为=， 故此三棱锥的全面积为2+2++=， 故选A． 5. 若函数y=x2-3x-4的定义域为[0，m]，值域为[-,- 4]，则m的取值范围是（  ▲  ）     A. [,3]         B.[,+)         C.(0,3]       D.(0,]         参考答案： A 略 6. 在独立性检验中，统计量有三个临界值：2.706、3.841和6.635，在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1000人，经计算的=18.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间 (   ) A．有95%的把握认为两者无关 B．约有95%的打鼾者患心脏病 C．有99%的把握认为两者有关  D．约有99%的打鼾者患心脏病 参考答案： C 因为统计量有三个临界值：2.706、3.841和6.635，而=18.87>6.635,所以有99%的把握认为两者有关，选C.   7. 在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】空间直角坐标系；空间两点间的距离公式． 【专题】计算题． 【分析】根据点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，得到点B的坐标，点B是A在yoz 上的射影，所以A与B的纵标和竖标相同，横标为0，得到B的坐标，根据两点之间的距离公式得到结果． 【解答】解：∵点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影 ∴B点的坐标是（0，2，3） ∴|OB|等于， 故选B． 【点评】本题考查空间直角坐标系，考查空间中两点间的距离公式，是一个基础题，解题的关键是，一个点在一个坐标平面上的射影的坐标同这个点的坐标的关系． 8. 已知A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5},则集合A∪B的元素个数是                （   ） A．8 B．7 C．6 D．5 参考答案： C 略 9. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是   A．4       B．5  C．6      D．7 参考答案： B 略 10. 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么          （    ） A．        B．      C．         D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为    ． 参考答案： 略 12. 已知是定义在上的增函数，当时，有则 。 参考答案： 5 13. （5分）已知两个球的表面积之比为1：9，则这两个球的半径之比为       ． 参考答案： 1：3 考点： 球的体积和表面积． 专题： 计算题；球． 分析： 运用球的表面积公式S=4πr2，计算即可得到所求值． 解答： 设两个球的半径分别为r，r'． 则由球的表面积公式可得， 4πr2：4πr'2=1：9， 即有r2：r'2=1：9， 则有r：r'=1：3． 故答案为：1：3． 点评： 本题考查球的表面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 14. 当时，函数的最小值为                    参考答案： 5 略 15. 设为虚数单位，则______. 参考答案： 因为。所以 16. 函数的定义域为             参考答案： 且 17. 在△ABC中，若?=?，|+|=|﹣|，则角B的大小是　　． 参考答案： 45° 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用． 【分析】由|+|=|﹣|可知=0，建立平面直角坐标系，设出各点坐标，利用数量积相等列出方程得出直角边的关系，得出∠B的大小． 【解答】解：∵|+|=|﹣|，∴ =0，∴． 以AC，AB为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），B（0，b），A（0，0）． 则=（0，b），=（a，﹣b），=（﹣a，0）． ∵?=?，∴﹣b2=﹣a2，∴a=b， ∴△ABC是到腰直角三角形，∴B=45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系进行坐标运算是解题关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 函数的定义域为D=，且满足对于任意D，有=. （1）求的值. （2）判断的奇偶性并证明你的结论. （3）如果，且在（0，+）上是增函数，求的取值范围. 参考答案： 解：（1） （2）令 有 令 有为偶函数. （3） 即 略 19. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2，an，Sn成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若，求数列{bn}的前n项和Tn； 参考答案： (1) ； (2) 【分析】 （1）利用 求解； （2）由（1）知，，差比数列，利用错位相减法求其前n项和. 【详解】（1）由题意知成等差数列，所以  ① , 可得  ② ①-②得，又，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， . （2）由（1）可得，用错位相减法得： 　① 　② ①-②可得. 【点睛】已知 与的关系式利用公式求解 错位相减法求等差乘等比数列的前n项和。 20. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足： ①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是． 则称是该函数的“和谐区间”． （1）求证：函数不存在“和谐区间”． （2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值． （3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例） 参考答案： 若是已知函数的“和谐区间”，则 故、是方程，即的同号的相异实数根． ，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，， 当时，取最大值………………5分 （3）如：和谐区间为、，当的区间； 和谐区间为；…………3分 阅卷时，除考虑值域外，请特别注意函数在该区间上是否单调，不单调不给分．如举及形如的函数不给分． 21. 已知函数为偶函数． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，，判断λ与E的关系； （Ⅲ）当x∈（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为，求m，n的值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用． 【分析】（Ⅰ）根据函数为偶函数f（﹣x）=f（x），构造关于a的方程组，可得a值； （Ⅱ）由（Ⅰ）中函数f（x）的解析式，将x∈{﹣1，1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案 （Ⅲ）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为，x∈，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值． 【解答】解：（Ⅰ）∵函数为偶函数． ∴f（﹣x）=f（x） 即= ∴2（a+1）x=0， ∵x为非零实数， ∴a+1=0，即a=﹣1 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0，} 而==== ∴λ∈E （Ⅲ）∵＞0恒成立 ∴在上为增函数 又∵函数f（x）的值域为， ∴f（）=1﹣m2=2﹣3m，且f（）=1﹣n2=2﹣3n， 又∵，m＞0，n＞0 ∴m＞n＞0 解得m=，n= 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键． 22. 已知集合{（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]} （1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率； （2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率． 参考答案： 【考点】CF：几何概型． 【分析】（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率． （2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率． 【解答】解：（1）设事件“x，y∈Z，x+y≥0”为A，x，y∈Z，x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]} 即x=0，1，2，