浙江省杭州市翰光中学高二数学理上学期期末试题含解析

浙江省杭州市翰光中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合M=｛ x︱0≤x ＜2  ｝,N=｛ x︱ ＜0 ｝,则集合M∩N=（  ） A｛x︱0≤x＜1｝                   B｛x ︱ 0≤x≤1｝    C｛x︱0≤x＜2｝                   D｛ x︱ 0≤x≤2 ｝ 参考答案： C 2. 已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，， ，，，……，则第个数对是  (    ) A． B． C．    D． 参考答案： C 略 3. 根据右边给出的数塔猜测1234569+8=（  ） A .1111110            19+2=11 B. 1111111           129+3=111 C. 1111112          1239+4=1111 D. 1111113         12349+5=11111 参考答案： C 略 4. 某几何体的三视图如右图所示，则其侧面积为  A．             B．  C．             D． 参考答案： A 略 5. 函数f（x）=的单调增区间是（　　） A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1），（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1），（1，+∞） 参考答案： C 【考点】3D：函数的单调性及单调区间． 【分析】分离常数可以得到，从而根据反比例函数的单调性便可得出f（x）的单调增区间． 【解答】解：； ∴f（x）的图象是由y=的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到； 而y=的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）； ∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1），（1，+∞）． 故选C． 6. 三个互不重合的平面能把空间分成部分，则所有可能值为                （　　） A．4、6、8                          B．4、6、7、8 C．4、6、7                          D．4、5、7、8 参考答案： B 7. 命题“且的否定形式是（ ） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 参考答案： D 根据全称命题的否定是特称命题，可知选D. 考点：命题的否定 8. 函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式ex?f（x）＞ex+1的解集为（　　） A．{x|x＞0} B．{x|x＜0} C．{x|x＜﹣1，或x＞1} D．{x|x＜﹣1，或0＜x＜1} 参考答案： A 【考点】函数单调性的性质；导数的运算． 【分析】构造函数g（x）=ex?f（x）﹣ex，结合已知可分析出函数g（x）的单调性，结合g（0）=1，可得不等式ex?f（x）＞ex+1的解集． 【解答】解：令g（x）=ex?f（x）﹣ex， 则g′（x）=ex?[f（x）+f′（x）﹣1] ∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1， ∴g′（x）＞0恒成立 即g（x）=ex?f（x）﹣ex在R上为增函数 又∵f（0）=2，∴g（0）=1 故g（x）=ex?f（x）﹣ex＞1的解集为{x|x＞0} 即不等式ex?f（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0} 故选A 9. 已知某几何体的三视图如图所示，其中侧(左)视图是等腰直角三角形，正视图是直角三角形，俯视图ABCD是直角梯形，则此几何体的体积为 (　  　) A．1      B．2      C．3      D．4 参考答案： D 10. 设集合，,则等于（ ） A.(0,3) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,2) 参考答案： A 集合 , . 等于(0,3). 故答案为：A.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过（－1，2）作直线与抛物线只有一个交点，能作几条直线____________. 参考答案： 3条 略 12. 已知等差数列{}共有12项，其中奇数项之和为10，偶数项之和为22，则公差为_______. 参考答案： 2 略 13. 若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是                   ． 参考答案： 14. 已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，那么=               ； 参考答案： 略 15. 不等式的解集为_________. 参考答案： 略 16. 已知函数，则___________ 参考答案： _1/4_ 略 17. ①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真； ②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件. ③是的充要条件；  ④“ ”是“”的充分必要条件. ⑤中，“”是“”的充要条件.以上说法中，判断错误的有_____. 参考答案： ③④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线l过点P（2，1） （1）点A（﹣1，3）和点B（3，1）到直线l的距离相等，求直线l的方程； （2）若直线l与x正半轴、y正半轴分别交于A，B两点，且△ABO的面积为4，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】待定系数法求直线方程． 【分析】（1）若直线斜率不存在，点A，B到直线l的距离不相等．故直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，代入点到直线距离公式，求出k值，可得答案； （2）由题可设l的截距式方程为：，结合已知构造方程，可得a，b的值，进而得到答案． 【解答】解：（1）若直线斜率不存在，即x=2，此时，点A，B到直线l的距离不相等． 故直线l的斜率一定存在， 设直线l的方程为y=k（x﹣2）+1，即kx﹣y﹣2k+1=0， 由题意得： = 解之得：k=﹣或k=﹣1， 故所求直线方程为x+2y﹣4=0或x+y﹣3=0 （2）由题可知，直线l的横、纵截距a，b存在，且均为正数， 则l的截距式方程为：，又l过点（2，1），△ABO的面积为4， ∴， 解得， 故l方程为， 即x+2y﹣4=0． 19. 已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数单调性的判断与证明；其他不等式的解法． 【分析】（1）求出函数的导函数，对二次函数中参数a进行分类讨论，判断函数的单调区间； （2）根据（1），得出f（x0）的最大值，问题可转化为对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，构造函数h（a）=2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，根据题意得出m的范围，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，利用导函数，对m进行区间内讨论，求出m的范围． 【解答】解：（I）f（x）=lnx+x2﹣2ax+1， f'（x）=+2x﹣2a=， 令g（x）=2x2﹣2ax+1， （i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （iii）当a＞时，x在（，）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减； 在区间（0，）和（，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增； （II）由（I）知当a∈（﹣2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增， 所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2﹣2a，对任意的a∈（﹣2，0]， 都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（﹣2，0]，2mea（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立， 等价于对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立， 记h（a）=2mea（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2， h'（a）=2（a+2）（mea﹣1）=0， ∴a=﹣2或a=﹣lnm， ∵a∈（﹣2，0]， ∴2（a+2）＞0， ①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0， a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（﹣lnm）=lnm﹣（2﹣lnm）＞0， 所以a∈（﹣2，﹣lnm）时，h（a）＞0恒成立； ②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（ea+2﹣1），因为a∈（﹣2，0]，所以h'（a）＞0， 此时单调递增，且h（﹣2）=0， 所以a∈（﹣2，0]，时，h（a）＞0恒成立； 综上，m的取值范围是（1，e2]． 20. 已知函数． （1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调增区间； （2）若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围； （3）若a＞0，且对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞2|x1﹣x2|，求实数a的最小值． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（1）把a=﹣1代入函数解析式，求其导函数，由导函数大于0求函数f（x）的单调增区间； （2）求原函数的导函数f′（x）===，由函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，说明其导函数在（0，+∞）上大于等于0恒成立，在导函数中x与（x+1）恒大于0，只需x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立，则a可求； （3）由（2）知，当a＞0时f（x）在（0，+∞）上是增函数，任取x1，x2∈（0，+∞），且规定x1＞x2，则不等式 |f（x1）﹣f（x2）|＞2|x1﹣x2|可转化为f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2恒成立，引入函数g（x）=f（x）﹣2x，说明该函数为增函数，则其导函数在（0，+∞）上大于等于0恒成立，分离变量后利用基本不等式可求a的最小值． 【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=﹣lnx+x2+1． 则f′（x）=﹣+x． 令f′（x）＞0，得，即，解得：x＜0或x＞1． 因为函数的定义域为{x|x＞0}， 所以函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）． （2）由函数． 因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数， 所以f′（x）===≥0对x∈（0，+∞）恒成立． 即x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立． 所以a≥0． 即实数a的取值范围是[0，+∞）． （3）因为a＞0，由（2）知函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． 因为x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2，所以f（x1）＞f（x2）． 由|f（x1）﹣f（x2）|＞2|x1﹣x2|恒成立，可得f（x1）﹣f（x2）＞2（x1﹣x2）， 即f（x1）﹣2x1＞f（x2）﹣2x2恒成立． 令g（x）=f（x）﹣2x=，则g（x）在（0，+∞）上应是增函数．  所以g′（x）=+x+（a+1）﹣2=≥0对x∈（0，+∞）恒成立． 即x2+（a﹣1）x+a≥0对x∈（0，+∞）恒成立． 即a≥﹣对x∈（0，+∞）恒成立 因为﹣=﹣（x+1+﹣3）≤3﹣2（当且仅当x+1=即x=﹣1时取等号）， 所以a≥3﹣2． 所以实数a的最小值为3﹣2． 21. 已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设