浙江省杭州市和睦中学高三数学文期末试卷含解析

浙江省杭州市和睦中学高三数学文期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 不等式＜0的解集为（    ） A．    B．     C．     D． 参考答案： A 略 2. 若方程在内有解，则的图象是（     ） 参考答案： D 略 3. 已知点P在抛物线上，且点P到x轴的距离与点P到此抛物线的焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离是    （     ） （A）     （B）                  （C）1       （D）2 参考答案： B 4. 过椭圆的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于A、B、C、D四 点，则四边形ABCD面积的最大值与最小值之差为 （A）    (B)      (C)      (D) 参考答案： B 略 5. 若平面向量与向量的夹角是，且，则(   ) A      B     C      D  参考答案： A 6. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是（　　） ．       ．        ．         ．  参考答案： B 投掷该骰子两次共有中结果，两次向上的点数相同，有6种结果，所以投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是，选B. 7. 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的向量，， 令 a⊙b=，下面说法错误的是（      ） A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b=b⊙a C．对任意的R，有（a）⊙b=（a⊙b） D．（a⊙b）+（a·b）= 参考答案： B 8. 已知sin（﹣α）=，则sin（﹣2α）=（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】GQ：两角和与差的正弦函数． 【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解． 【解答】解：∵sin（﹣α）=cos[﹣（﹣α）]=cos（+α）=， ∴sin（﹣2α）=cos[﹣（﹣2α）]=cos[2（+α）]=2cos2（+α）﹣1=2×﹣1=﹣． 故选：A． 【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 9. 已知奇函数的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域   为，则不等式的解集是（     ） A．            B．  C．                                     D． 参考答案： B 10. 若，满足约束条件，则的最大值为（      ） A．5 B．3 C．﹣1 D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列说法中，正确的有　          　 （把所有正确的序号都填上）． ①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”； ②函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）的最小正周期是π； ③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是真命题； ④函数f（x）=2x﹣x2的零点有2个； ⑤dx等于． 参考答案： ①⑤ 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑． 【分析】通过命题的否定判断①的正误；函数的周期判断②的正误；命题的否命题的真假判断③的正误；函数的零点的公式判断④的正误；定积分求出值判断⑤的正误． 【解答】解：对于①“?x∈R，使2x＞3“的否定是“?x∈R，使2x≤3”，满足特称命题的否定是全称命题的形式，所以①正确； 对于②，函数y=sin（2x+）sin（﹣2x）=sin（4x+），函数的最小正周期，所以②不正确； 对于③，命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f'（x0）=0”的否命题是：若f'（x0）=0，则函数f（x）在x=x0处有极值，显然不正确．利用y=x3，x=0时，导数为0，但是x=0不是函数的极值点，所以是真命题； 所以③不正确； 对于④，由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数， 只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象，由图象可得有3个交点． 所以④不正确； 对于⑤，dx的几何意义是半圆的面积，圆的面积为π， dx=．所以⑤正确； 故答案为：①⑤． 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查命题的否定，零点判定定理，定积分的求法，函数的周期等知识，考查基本知识的应用． 12. 已知的值如表所示： 2 3 4 5 4 6 如果与呈线性相关且回归直线方程为，则            ； 参考答案： 13. 已知，则向量与向量的夹角是         ． 参考答案： 考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：计算题；压轴题． 分析：据题意可得，∴=进一步利用向量夹角的范围求出夹角． 解答： 解：设的夹角为θ则 ∵ 即 ∵， ∴ ∴= ∵θ∈ ∴ 故答案为： 点评：解决向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式进行解决．但要注意向量夹角的范围． 14. 已知函数，其中．若的值域是，则的取值范围是______． 参考答案： 15. 某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是             ． 参考答案： 5 16. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面. ①若，则； ②如果，则； ③若，且，则； ④若不平行，则与不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是          ． 参考答案： ②④ 若，则与位置关系不确定； ，则存在直线l与平行，因为所以，则； 若，且，则可异面； ④逆否命题为：若与垂直于同一平面，则平行，为真命题，所以 ②④正确   17. 已知函数，，是常数． （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围； （3）证明：，存在，使． 参考答案： 解：（1）……………………………………………………………………1分 ， ……………………………………………………………………2分 函数的图象在点处的切线为，即……………………………………………………………………………………4分 （2）①时，，因为，所以点在第一象限，依题意，…………………………………………………………………………5分 ②时，由对数函数性质知，时，，，从而“，”不成立 ………………………………………………………………6分 ③时，由得，设， － ↘ 极小值 ↗   ，从而， ……………………………8分 综上所述，常数的取值范围 …………………………………………………………9分 （3）直接计算知…………………………………………………10分 设函数…………………………………11分 ， 当或时，， 因为的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使，即，使；…………………………………………………………………………12分 当时，、，而且、之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以有最小值，且 ， 此时存在（或），使。 …………………13分 综上所述，，存在，使…………………………14分     略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知 (1)讨论函数的单调性; (2)证明:当，且时，恒成立. 参考答案： （1）见解析（2）见解析 分析：(1) 求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）由（1）可知当时，在上单调减， 再令，证明，即可得到所要证明的结论. 详解： （1） ， 当时，的增区间，无减区间 当时，增区间，减区间 （2）当 由（1）可知当时，在上单调减， 再令 在上， ， 递增，所以 所以恒成立，当时取等号， 所以，原不等式恒成立. 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题． 19. （14分） 已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点.试问轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 参考答案： （1）；（2）存在满足条件. 试题分析：(1) 由题根据椭圆的右焦点坐标及结果点坐标联立方程不难求得椭圆方程为; (2) 假设在轴上存在定点，使得恒成立, 当直线的斜率为0时，当直线的斜率为0时，直线的斜率不存在时，,当直线的斜率存在且斜率不为0时,联立直线与椭圆方程可得 ，所以得到直线上存在点满足条件. 试题解析：（1）由题c=1,,结合椭圆定义不难得到其对应方程为; 考点：椭圆的定义，直线与圆锥曲线的综合应用 20. 设函数 （Ⅰ）若在其定义域内为单调递增函数，求的取值范围； （Ⅱ）当的图象有3个交点，求实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ） 要使内为单调增函数， 只需恒成立. 由       且时等号成立      故      （Ⅱ）当      令     当的变化情况如下表： + 0 - 0 + 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数       由         同理     所以当直线的图象有3个交点时，实数的取值范围为     . 略 21. 如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4． （1）求椭圆C的方程； （2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程； （2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值； 方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值 【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得  ① 由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b= 故椭圆的方程为 （2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③ 代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0 设A（x1，y1），B（x2，y2）， x1+x2=，    ④ 在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k）， 从而，， =k﹣ 注意到A，F，B共线，则有k=kAF=kBF，即有==k 所以k1+k2=+=+﹣（+） =2k﹣×    ⑤ ④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1 又k3=k﹣，