福建省南平市井后中学高三数学理期末试题含解析

福建省南平市井后中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知（e为自然对数的底数），，直线l是与的公切线，则直线l的方程为（   ） A．或                      B．或 C．或                       D．或 参考答案： C 设切点分别为、，， 整理得解得或， 所以切线方程为或，故选C. 2. 若双曲线﹣y2=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．4 参考答案： C 【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质． 【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，即可求出p． 【解答】解：双曲线的左焦点（﹣2，0）在抛物线y2=2px的准线x=﹣上， 可得﹣2=﹣，解得p=4． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基础题． 3. 曲线在点（1，-1）处的切线方程为（   ） A.     B. C. D. 参考答案： C 略 4. 设，，，则 A． B． C． D． 参考答案： B 5. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝(　　) A．1  B．－1  C．－e－1  D．－e 参考答案： C 略 6. 若函数在上单调递增，那么实数的取值范围是        （   ） (A)   (B)   (C) (D) 参考答案： 7. 已知sin+cos=，∈(0，)，则tan的值为  A．      B．    C．或     D．或 参考答案： A 略 8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图则输出的值为（　　） （参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305） A．6 B．12 C．24 D．48 参考答案： C 【考点】EF：程序框图． 【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环． 【解答】解：模拟执行程序，可得： n=6，S=3sin60°=， 不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3， 不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°≈12×0.2588=3.1056， 满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24． 故选：C． 【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题． 9. 下列命题中，真命题是（   ） A．                 B. 是的充要条件    C． D. 命题 的否定是真命题。 参考答案： D 略 10. 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（　　） A．12+ B．12+23π C．12+24π D．12+π 参考答案： C 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，结合图中数据求出它的表面积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱， 其表面积为 S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π?（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π] =12+24π． 故选：C． 【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知等比数列{an}（n＝1，2，3）满足an+1＝2﹣|an|，若a1＞0，则a1＝_____． 参考答案： 1或 2+或2﹣ 【分析】 由已知可知，a2＝2﹣|a1|＝2﹣a1，a3＝2﹣|a2|＝2﹣|2﹣a1|＝，结合等比数列的性质可求． 【详解】解：等比数列{an}满足an+1＝2﹣|an|，且a1＞0， a2＝2﹣|a1|＝2﹣a1，则a3＝2﹣|a2|＝2﹣|2﹣a1|＝， 由等比数列的性质可知，， 若a3＝a1，则，解可得，a1＝1，此时数列的前3项分别为 1，1，1， 若a3＝4﹣a1，则，解可得 a1＝2， 当a1＝2-时，数列的前3项分别为 2-,，2+， 当a1＝2+时，数列的前3项分别为 2+，，2﹣， 故答案为：1或 2+或2﹣． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的简单应用，体现了分类讨论思想的应用． 12. 若实数满足，则的最大值为_______________ 参考答案： 5 13. 已知C点在⊙O直径BE的延长线上，CA切⊙O于A点，若AB＝AC，则   ． 参考答案： ； 14. 如图，在等腰三角形ABC中，已知|AB|=|AC|=1，∠A=120°，E，F分别是AB，AC上的点，且，（其中λ，μ∈（0，1）），且λ+4μ=1，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值为　　． 参考答案： 【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义． 【分析】由向量的数量积公式求出?=﹣，连接AM、AN，利用三角形中线的性质得出，，再根据向量的数量积公式和向量的加减的几何意义得=μ2﹣μ+，结合二次函数的性质可得最小值． 【解答】解：连接AM、AN， ∵等腰三角形ABC中，AB=AC=1，A=120°， ∴?=||?||cos120°=﹣ ∵AM是△AEF的中线， ∴=（+）=（λ+μ） 同理，可得=（+）， 由此可得=﹣=（1﹣λ）+（1﹣μ） ∴=[（1﹣λ）+（1﹣μ）]2=（1﹣λ）2+（1﹣λ）（1﹣μ）?+（1﹣μ）2=（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）（1﹣μ）+（1﹣μ）2， ∵λ+4μ=1，可得1﹣λ=4μ， ∴代入上式得=×（4μ）2﹣×4μ（1﹣μ）+（1﹣μ）2=μ2﹣μ+ ∵λ，μ∈（0，1）， ∴当μ=时，的最小值为，此时||的最小值为． 故答案为： 15. 已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是　　． 参考答案： 考点： 导数的几何意义．  专题： 计算题；数形结合． 分析： 由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出k的范围，再根据k=tanα，结合正切函数的图象求出角α的范围． 解答： 解：根据题意得f′（x）=﹣， ∵， 且k＜0 则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1， 又∵k=tanα，结合正切函数的图象 由图可得α∈， 故答案为：． 点评： 本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 16. 在等比数列的值为         ． 参考答案： 3 17. 向量，满足：｜｜＝2，｜+｜＝1，则的最大值为＿＿ 参考答案： －2    三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分. （1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程； 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. （2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；   （3）由抛物线弧：（）与第（1）小题椭圆弧：（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点，，且（），试用表示；并求的取值范围.   参考答案： 解：（1）由的周长为得， 椭圆与双曲线：有相同的焦点，所以， 即，，椭圆的方程；…………………4分 （2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，.………5分 当时，，， 即；…………………………7分 当时，，， 即；…………………………9分 所以为定值；…………………………………………………………10分 （3）显然“盾圆”由两部分合成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由“盾圆”的对称性，不妨设在轴上方（或轴上）： 当时，，此时，；……………………11分 当时，在椭圆弧上， 由题设知代入得， ， 整理得， 解得或（舍去）. …12分 当时在抛物线弧上， 由方程或定义均可得到，于是， 综上，（）或（）； 相应地，，…………………………………………14分 当时在抛物线弧上，在椭圆弧上， ；……………………15分 当时在椭圆弧上，在抛物线弧上， ；……………………16分 当时、在椭圆弧上， ；…………………………17分 综上的取值范围是.…………………………………………………18分 略 19. 设x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3﹣x（x∈R）的一个极值点． （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间； （Ⅱ）设a＞0，．若存在ξ1，ξ2∈[0，4]使得|f（ξ1）﹣g（ξ2）|＜1成立，求a的取值范围． 参考答案： 考点： 利用导数研究函数的极值；不等式．3794729 专题： 计算题；压轴题． 分析： （Ⅰ）求出f′（x），因为x=3是函数f（x）的一个极值点得到f′（3）=0即可得到a与b的关系式；令f′（x）=0，得到函数的极值点，用a的范围分两种情况分别用极值点讨论得到函数的单调区间； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，得到f（x）在区间[0，4]上的值域，又在区间[0，4]上是增函数，求出的值域，最大减去最小得到关于a的不等式求出解集即可． 解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=﹣[x2+（a﹣2）x+b﹣a]e3﹣x， 由f′（3）=0，得﹣[32+（a﹣2）3+b﹣a]e3﹣3=0，即得b=﹣3﹣2a， 则f′（x）=[x2+（a﹣2）x﹣3﹣2a﹣a]e3﹣x =﹣[x2+（a﹣2）x﹣3﹣3a]e3﹣x=﹣（x﹣3）（x+a+1）e3﹣x． 令f′（x）=0，得x1=3或x2=﹣a﹣1， 由于x=3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠﹣4． 当a＜﹣4时，x2＞3=x1，则 在区间（﹣∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 在区间（3，﹣a﹣1）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数； 在区间（﹣a﹣1，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数． 当a＞﹣4时，x2＜3=x1，则 在区间（﹣∞，﹣a﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 在区间（﹣a﹣1，3）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数； 在区间（3，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减， 那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]， 而f（0）=﹣（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e﹣1＞0，f（3）=a+6， 那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[﹣（2a+3）e3，a+6]． 又在区间[0，4]上是增函数，