浙江省温州市新桥镇中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

浙江省温州市新桥镇中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列命题错误的是 （   ） A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”； B. 若命题，则； C. 中，若则一定有成立； D. 若向量满足，则与的夹角为钝角. 参考答案： D 略 2. 设f(x)是定义在R上的函数，满足条件y＝f(x＋1)是偶函数，当x≥1时，f(x)的大小关系是(　　) 参考答案： A 3. 命题，则是（   ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 4. “a＞4”是“a2＞16”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】简易逻辑． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a2＞16得a＞4或a＜﹣4， 则“a＞4”是“a2＞16”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础． 5. 设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（     ）     A．        B．        C．        D．（1，2） 参考答案： A 6. 设为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A.     B.     C. 3    D. -3 参考答案： D 试题分析：，所以其虚部为，选D． 考点：复数的运算． 7. 设A，B，C是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 参考答案： B 【详解】此题考查正弦定理、余弦定理、向量的数量积、两角和与差正余弦公式的灵活应用、三角函数求最值问题的综合知识； 设圆的圆心是，在等腰中，，由余弦定理可求出，根据正弦定理得： 所以，当时，的最大值为，选B 8. ．已知是等差数列，，则的公差  (    ) A．－         B．－     C．－     D．－ 参考答案： C 略 9. 已知i与j为互相垂直的单位向量，，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（     ） A． B． C． D． 参考答案： C ，因为它们的夹角为锐角，则且不共线同向，所以且，故选C．   10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题： ①f（f（x））=1； ②函数f（x）是偶函数； ③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立； ④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形． 其中真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 参考答案： A 【考点】2K：命题的真假判断与应用；5B：分段函数的应用． 【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1； ②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数； ③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质； ④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形． 【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0， ∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1， 即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确； ③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数， ∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； ④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0， ∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确． 即真命题的个数是4个， 故选：A． 【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________; 参考答案： 120° 由题意得, 所以,则、的夹角为,   12. 在极坐标系中，直线与圆相切，则a=__________． 参考答案： 分析：根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a. 详解：因为 ， 由 ，得 ， 由 ，得 ，即 ，即 ， 因为直线与圆相切，所以   13. 若函数的反函数为，则不等式的解集为        . 参考答案： 【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数. 【试题分析】因为，所以有，则， 故答案为. 14. 已知数列{an}的前n项的和Sn满足log2（Sn+1）=n，则an=　　． 参考答案： 2n﹣1 【考点】数列的求和；数列递推式．  【专题】计算题． 【分析】根据log2（Sn+1）=n，可得Sn的公式，进而代入an=Sn﹣Sn﹣1中即可求得an 【解答】解：由log2（Sn+1）=n得Sn+1=2n，∴Sn=2n﹣1， ∴a1=S1=2﹣1=1，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1； ∴an=2n﹣1． 2n﹣1； 【点评】本题主要考查数列的求和问题．属基础题． 15. 方程的解__________． 参考答案： 16. 定义在上函数满足：，，若取芯在处的切线方程，该曲线在的切线方程为________ 参考答案： 【知识点】函数的性质.   B4 解析：由已知得，函数既关于y轴对称又关于直线x=2对称，所以此函数的周期为4，且在x= -1与x=1处的切线关于y轴对称，因为在处的切线方程，所以在处的切线方程为y= -x+3,而x=5与x=1的距离4是一个周期，所以在处的切线，向右平移4个单位为曲线在的切线，所以该曲线在的切线方程为. 【思路点拨】根据函数的对称性，及平移变换得结论.  17. 现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是       ． 纤维长度 频数 [22.5，25.5） 3 [25.5，28.5） 8 [28.5，31.5） 9 [31.5，34.5） 11 [34.5，37.5） 10 [37.5，40.5） 5 [40.5，43.5] 4 参考答案： 180 【考点】频率分布直方图． 【分析】由频率分布表先求出纤维长度不小于37.5mm的频率，由此能估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数． 【解答】解：由频率分布表知： 纤维长度不小于37.5mm的频率为： =0.18， ∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是1000×0.18=180． 故答案为：180． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数 （1）当的最小值； （2）若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： （1）当时，  --3分                                          ------5分 （2）对任意的实数恒成立对任意的实数恒成立                                            -------6分 当时，上式成立；                                          ----7分 当时， 当且仅当即时上式取等号，此时成立.          -----9分 综上，实数的取值范围为                           ----10分 19. （本小题满分13分） 已知：，函数， （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，求在闭区间上的最小值. 参考答案： （1）；（2）. 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，将代入中，对求导，为切点的纵坐标，而是切线的斜率，最后利用点斜式写出直线方程；第二问，对求导，令，将分成两部分：和进行讨论，讨论函数的单调性，利用单调性判断函数的最小值，综合所有情况，得到的解析式. 试题解析：定义域：， （Ⅰ）当时，，则 ，则 ∴在处切线方程是： ，即， （Ⅱ），令，得到， ①当时，，则有 0   0 0   0 极大 极小 则最小值应该由与中产生， 当时，，此时； 当时，，此时， ②当时，，则有 0   0   0 极小 则， 综上所述：当时，在区间上的最小值 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求函数的切线方程. 20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为． （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）若，求a和c的值． 参考答案： 【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用． 【分析】（1）利用诱导公式求出sin的值，从而利用二倍角的余弦公式求得cosB． （2）由两个向量的数量积的定义求出ac的值，再利用余弦定理求出a和c的值． 【解答】解：（1）∵cos=， ∴sin=sin（﹣）=， ∴cosB=1﹣2sin2=． （2）由?=2可得 a?c?cosB=2，又cosB=， 故ac=6， 由 b2=a2+c2﹣2accosB 可得a2+c2=12， ∴（a﹣c）2=0， 故 a=c， ∴a=c=． 21. 已知矩阵,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为,属于特征值1的一个特征向量. （Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵; （Ⅱ）计算A3的值. 参考答案： (Ⅰ)法一:依题意,.. ………… 2分 所以…………4分 法二:的两个根为6和1, 故d=4,c=2.  …………2分 所以-…………4分 (Ⅱ)法一:=2－…………5分 A3=2×63－13=…………7分 法二: A3=…………7分 22. （本小题满分12分） 在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点． （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求证：平面⊥平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积． 参考答案： （Ⅰ）证明分别为的中点， ∥ 又平面，平面 ∥平面. ………………………………..3分 （Ⅱ）连结， ，为中点，,  ⊥，. 同理, ⊥，. 又,, ，⊥. ⊥,⊥,, ⊥平面. 又平面，平面⊥平面. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知垂直平面 。。。。。。。。。。9分 为三棱锥的高，且 .  。。。。。。。。12分   略