河南省周口市财贸中学高三数学文下学期期末试卷含解析

河南省周口市财贸中学高三数学文下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若是虚数单位，则乘积的值是（    ）        A．-15                         B．3                            C．-3                   D．5   参考答案： C 略 2. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（　） A.         B.        C.      D. 参考答案： C 3. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（　　） A．21+ B．18+ C．21 D．18 参考答案： A 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积． 【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1， 几何体的表面积为：S正方体﹣2S棱锥侧+2S棱锥底==21+． 故选：A． 4. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（   ） A．          B．   C．        D． 参考答案： B 5. 已知变量满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为(   )　 A. (-∞,-1]     B.  [-1,+∞)       C.  [-1,1]        D. [-1,1) 参考答案： 【知识点】简单线性规划．E5 C   解析：由题意作出其平面区域， 则x+2y≥﹣5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=﹣5的上方， 则实数a的取值范围为[﹣1，1]． 故答案为：[﹣1，1]． 【思路点拨】由题意作出其平面区域，则x+2y≥﹣5恒成立可化为图象中的阴影部分在直线x+2y=﹣5的上方，从而解得． 6. 设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的     A．充分不必要条件                       B．必要不充分条件     C．充分必要条件                         D．既不充分又不必要条件 参考答案： C 7. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为 A. B. C. D.1 参考答案： 8. 若存在实数,使成立，则的取值范围为（     ） A.       B.      C.       D. 参考答案： A 9. 今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。当甲、乙两人为一方，丙、丁两人为另一方时，双方势均力敌；当甲与丙对调以后，甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方；而乙凭其一人之力便战胜了甲、丙两人的组合。那么，甲、乙、丙、丁四人的“体力”由强到弱的顺序是 A．丁、乙、甲、丙                   B．乙、丁、甲、丙 C．丁、乙、丙、甲                   D．乙、丁、丙、甲 参考答案： A 10. 曲线在处的切线方程为(    )       （A）             （B）      （C）            （D） 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知球O的表面积为，点A，B，C为球面上三点，若，且AB=2,则球心O到平面ABC的距离等于__________________． 参考答案： 12. 设x，y为正实数，下列命题：   ①若，则；   ②若，则；   ③若，则． 其中的真命题有         ．(写出所有真命题的编号) 参考答案： ① 13. （5分）（2012?广州一模）已知，则实数k的取值范围为　　． 参考答案： 考点： 微积分基本定理；一元二次不等式的应用． 专题： 计算题；导数的综合应用． 分析： 由定积分计算公式，算出的表达式，再解关于k的一次不等式，即可得到本题答案． 解答： 解：∵=（） =（）﹣（）=+1 ∴即2≤+1≤4，解之得≤k≤2 故答案为： 点评： 本题给出含有积分式子的范围，求参数k的取值范围，着重考查了定积分计算公式和不等式解法等知识，属于基础题． 14. 已知函数当时，，若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围          ． 参考答案： 15. 在中，，面积，则BC边的长度为         参考答案： 16. 已知函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R），若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则a的取值范围为　　． 参考答案： 【考点】函数与方程的综合运用． 【专题】计算题． 【分析】首先分析对任意的m直线x+y+m=0都不是曲线y=f（x）的切线的含义，即可求出函数f（x）=x3﹣3ax（a∈R）的导函数，使直线与其不相交即可． 【解答】解：f（x）=x3﹣3ax（a∈R），则f′（x）=3x2﹣3a 若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f（x）的切线，则直线的斜率为﹣1，f（x）′=3x2﹣3a与直线x+y+m=0没有交点， 又抛物线开口向上则必在直线上面，即最小值大于直线斜率， 则当x=0时取最小值，﹣3a＞﹣1， 则a的取值范围为 即答案为． 【点评】此题考查了函数与方程的综合应用，以及函数导函数的计算，属于综合性问题，计算量小但有一定的难度，属于中等题． 17. 已知，，，则的最小值为    ▲    ． 参考答案： 4 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数f（x）=，a∈R． （1）当x＜1时，求函数f（x）的单调区间和极值； （2）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？ 参考答案： 【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质． 【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；平面向量及应用． 【分析】（1）当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2，求导f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），从而由导数的正负确定函数的单调性及极值； （2）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，由题意可设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，由?=0可得﹣t2+f（t）（t3+t2）=0，从而讨论判断方程是否有解即可． 【解答】解：（1）当x＜1时，f（x）=﹣x3+x2， f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣）， 故f（x）在（﹣∞，0）和（，1）上单调递减，在（0，）上单调递增． ∴当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0； 当x=时，f（x）取得极大值f（）=． （2）假设曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形， 则P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1． 因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形， 所以?=0， 即：﹣t2+f（t）（t3+t2）=0 ①， 是否存在点P，Q等价于方程①是否有解． 若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2， 代入方程①得：t4﹣t2+1=0，此方程无实数解； 若t≥1，则f（t）=alnt，代入方程①得：=（t+1）lnt， 设h（t）=（t+1）lnt（t≥1）， 则h′（t）=lnt++1＞0在[1，+∞）上恒成立， 所以h（t）在[1，+∞）上单调递增， 从而h（t）≥h（1）=0， 所以当a＞0时，方程=（t+1）lnt有解． 所以，对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上． 【点评】本题考查了导数的综合应用及平面向量的应用，同时考查了分类讨论的思想应用． 19. 设，且该函数曲线在处的切线与轴平行. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）讨论的单调性； （Ⅲ）证明：当时，. 参考答案： 【解】：（Ⅰ），由条件知，故则                             …………………………………………（4分） （Ⅱ）于是.      ………………（6分） 故当时，；当时，。 从而在上单调递减，在上单调递增. …………（9分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知在上单调递增，故在上的最大值为 最小值为                    ………………………………………（12分） 从而对任意有，而当时，从而 …………………………（14分）     略 20. 如图，是边长为3的正方形，平面，，且，. （1）试在线段上确定一点的位置，使得平面； （2）求二面角的余弦值. 参考答案： （1）为的一个三等分点（靠近点） （2） （1）取的三等分点（靠近点），则有，过作交于，由平面，，可知平面，∴， ∴，且，……………………3分 所以四边形为平行四边形，可知平面， ∵，∴为的一个三等分点（靠近点）；……………5分   【考查方向】本题考查满足线面平行的点的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 【易错点】辅助线的做法，线面平行条件的构造。 【解题思路】（1）过K作KM⊥BD，交BD于M，则AF⊥平面ABCD，从而AF⊥BD，四边形FAMK为平行四边形，进而AM∥平面BEF，由此求出M为BD的一个三等分点（靠近点B）． （2）如图建立空间直角坐标系： 则，， 设平面的法向量为，由，可得． 平面的法向量为，由可得， 因为二面角为钝二面角，可得， 所以二面角的余弦值为．……………………12分 【考查方向】本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 【易错点】坐标系的建立，法向量的准确运算，二面角的范围判定。 【解题思路】（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣C的余弦值． 21. 已知函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m                  ⑴若函数定义域为，求的取值范围； ⑵若不等式恒成立，求的取值范围。 参考答案： 解析：⑴，由题意恒成立 所以，则m的取值范围是[0，4]    ⑵ 令恒成立， ∴ ∴或 ∴的取值范围是 22. 设椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），上顶点为A，过A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F1为QF2的中点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过F2的直线l与C交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】（1）根据题意，设F1、F2的坐标，可得Q点坐标以及向量、的坐标，分析可得，分析可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由M、N的坐标表达△F1MN的面积，分析可得要使△F1MN内切圆的面积最大，只需R最大，此时也最大，进而设直线l的方程为x=my+1，与椭圆的方程联立，结合根与系数的关系分析可得，由换元法分析可得答案． 【解答】解：（1）由题A（0，b），F1为QF2的中点． 设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0）， ，，由题，即，