广东省汕头市滨海中学高二数学理期末试题含解析

广东省汕头市滨海中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 表示的图形是（    ） A. 一条射线 B. 一条直线 C. 一条线段 D. 圆 参考答案： A 【分析】 在极坐标系中，极角为定值，且过极点的图形为直线，注意到，故为射线． 【详解】表示过极点的直线，因，故其表示的图形是一条射线（如图） 故选A． 【点睛】一般地，表示过极点的直线，表示圆心为极点半径为的圆． 2. 设，且满足对任意正实数，下面不等式恒成立的是                                                             （  ） A.  B.      C.    D. 参考答案： D   略 3. 复数的虚部是                      （     ） 参考答案： B 略 4. 下列计算错误的是（　　） A.    B.    C.   D. 参考答案： C 5. 用三段论推理：“指数函数是增函数，因为是指数函数，所以是增函数”，你认为这个推理 　 A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D． 是正确的 参考答案： A 6. 过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小， 则P到圆心的距离最大即可， 由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小， 由，解得，即D（﹣4，﹣2）， 此时|OD|=，|OA|=1， 则，即sin=， 此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=， 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式． 7. 已知命题 p1：函数在R为增函数， p2：函数在R为减函数， 则在命题q1：，q2：，q3：和q4：中，真命题是 A. q1，q3 B. q2，q3 C. q1，q4 D. q2，q4 参考答案： C 是真命题，是假命题，∴：，：是真命题. 选C. 8. 下列说法中，错误的是（   ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若,则” B．“”是“”的充分不必要条件 C．对于命题，，则， D．若为假命题，则均为假命题 参考答案： D 略 9. 复数的共轭复数所对应的点位于复平面的（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限    D. 第四象限 参考答案： C 【分析】 通过化简，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案. 【详解】根据题意得，所以共轭复数为，对应点为 ，故在第三象限，答案为C. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大. 10. 设某种产品分两道工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%.生产这种产品只要有一道工序出次品就出次品，则该产品的次品率是(    )   A． 0.13           B.   0.03         C.   0.127      D.   0.873 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若实数x，y满足等式 x2+y2=4x﹣1，那么的最大值为　　．x2+y2的最小值为　　． 参考答案： ,7﹣4. 【考点】基本不等式． 【分析】①x2+y2=4x﹣1，令=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）﹣4x+1=0，令△≥0，解得k即可得出． ②令x=2+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）．代入x2+y2，利用三角函数平方关系及其单调性即可得出． 【解答】解：①∵x2+y2=4x﹣1，∴（x﹣2）2+y2=3． 令=k，即y=kx，代入上式可得：x2（1+k2）﹣4x+1=0， 令△=16﹣4（1+k2）≥0，解得，因此的最大值为． ②令x=2+cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π）． 则x2+y2==7+4cosθ≥7﹣4，当且仅当cosθ=﹣1时取等号． 12. 班级53名同学报名参加科技、文化、生活三个学习社团，规定每人必须参加一个社团，且最多参加两个社团，在所有可能的报名方案中，设参加社团完全相同的人数的最大值为n，则n的最小值为_________． 参考答案： 9 略 13. 菱形ABCD的边长为2，且∠BAD＝60°，将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD体积的最大值为            参考答案： 1 14. 如果直线和互相垂直，则实数的值为_____________. 参考答案： 15. 对大于或等于2的自然数的次方幂有如下分解方式：       根据上述分解规律，则，若的分解中最小的数是91，则的值为          。 参考答案： 10 16. 用反证法证明命题：“在一个三角形的三个内角中，至少有二个锐角”时，假设部分的内容应为　     　． 参考答案： 在一个三角形的三个内角中，至多有一个锐角 【考点】反证法与放缩法． 【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立． 【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“在一个三角形的三个内角中，至少有2个锐角”的否定：在一个三角形的三个内角中，至多有一个锐角． 故答案为：在一个三角形的三个内角中，至多有一个锐角． 17. 已知F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1，1）是一定点，则PA+PF1的最大值为　　． 参考答案： 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定A在椭圆内部，利用最大PA+PF1=2a+AF2，即可求得结论． 解答： 解：由题意，A（1，1）在椭圆内部，椭圆长轴2a=10，右焦点坐标F2（4，0），则AF2== 所以最大PA+PF1=2a+AF2=10+ 故答案为： 点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成。已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米。 （1）若设休闲区的长米，求公园ABCD所占面积S关于的函数的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？ 参考答案： ⑴由，知 ⑵ 当且仅当时取等号 ∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米. 19. 关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数m的取值范围。 参考答案： 解：由条件知，m满足 解得        m的取值范围 20. 不等式组， （Ⅰ）画出不等式组表示的平面区域； （Ⅱ）求的最大值和最小值  参考答案： （Ⅰ）略．      （Ⅱ）平面区域三顶点的坐标为：     ∴      ∴ ．   21. （本题满分12分） 在中，是三角形的三内角，是三内角对应的三边，已知． （1）求角的大小；（2）若＝，且△ABC的面积为，求的值. 参考答案： 解：（1） 又为三角形内角，所以………………………………………………4分 （2），由面积公式得： ………………………………6分 由余弦定理得： ………………………10分 由②变形得　　　　　　　　　 ………………………12分 略 22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为   ρsin2θ=2cosθ，过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； （Ⅱ）求证：|PA|?|PB|=|AB|2． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（Ⅰ）消去t参数可得直线l的普通方程；根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得曲线C的直角坐标方程． （Ⅱ）曲线C和直线l联立方程组求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式可得结论． 【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ， x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得：y2=2x ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x． 直线l的参数方程为（t为参数），消去，可得x﹣y=﹣2+4，即x﹣y﹣2=0． ∴直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0． （Ⅱ）证明：直线l与曲线C相交于A，B两点 联立方程组，解得坐标A（，），坐标B（3，1﹣） ∵P（﹣2，﹣4）， 那么：|PA|?|PB|= |AB|2==40． ∴|PA|?|PB|=|AB|2．