广东省揭阳市钱坑中学高二数学理联考试卷含解析

广东省揭阳市钱坑中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. (x∈R)展开式中的常数项是(　　) A．－20  B．－15 C．15  D．20 参考答案： C 略 2. 已知高为5的四棱锥的俯视图是如图所示的矩形，则该四棱锥的体积为（　　） A．24 B．80 C．64 D．240 参考答案： B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据已知中四棱锥的俯视图，得到底面的长和宽，代入棱锥体积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的棱锥的俯视图，可得： 该四棱锥的体积V=×6×8×5=80， 故选：B 3. 已知函数f（x）=x2+x+a在区间（0，1）上有零点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C．（﹣2，0） D．[﹣2，0] 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】由题意可得函数在区间（0，1）上单调递增，再根据函数f（x）在（0，1）上有零点，可得，由此求得a的范围． 【解答】解：函数f（x）=x2+x+a的图象的对称轴方程为x=﹣，故函数在区间（0，1）上单调递增， 再根据函数f（x）在（0，1）上有零点，可得，求得﹣2＜a＜0． 故选：C． 4. 命题，；命题，使得，则下列命题中为真命题的是（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C ，， 令，， ∴是真命题，，， ∵，∴，∴是假命题， ∴是真命题．故选． 5. 已知四棱锥的三视图如右图， 参考答案： B 6. 如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是（    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： D 7. 如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE（阴影部分）内”，则P（B|A）=（      ）   A．     B．      C．     D． 参考答案： A 8. 已知双曲线-=1和椭圆+=1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或钝角三角形 参考答案： B 略 9. 直线l： x+y+3=0的倾斜角α为（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 参考答案： C 【考点】直线的倾斜角． 【分析】由题意可得，直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得 α的值． 【解答】解：由于直线l： x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣， 再由0°≤α＜180°，可得 α=120°， 故选C． 【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，根据三角函数的值求角，属于基础题． 10. 给定两个命题p，q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 A．充分而不必要条件            B．必要而不充分条件 C．充要条件                    D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则函数的最大值是；⑤若，则.其中正确的命题序号是_________ 参考答案： ①④⑤ 12. 已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x10，y10）满足线性回归方程，则“（x0，y0）满足线性回归方程”是“，”的　　．条件．（填充分不必要、必要不充分、充要） 参考答案： 必要不充分 【考点】回归分析的初步应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，即可得到结论． 【解答】解：根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，可得“（x0，y0）满足线性回归方程”是“，”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分 【点评】本题考查回归分析的初步应用，考查四种条件，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点 13. 从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为1∶1∶3∶6∶4∶2，最右边的一组的频数是8. 估计这次数学竞赛成绩的平均数          . 参考答案： 略 14. 已知圆，直线的方程为，若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数       . 参考答案： 利用数形结合法，研究直线与圆的位置关系，因为，圆上恰有三个点到直线的距离为1，所以确定（0,0）到直线的距离为1， .故答案为. 15. 某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为　　． 参考答案： 3000 【考点】分层抽样方法． 【分析】设全校学生的人数为n和要抽取的样本容量，即可求出答案． 【解答】解：设全校学生的人数为n， 则， 解得n=3000， 故答案为：3000． 16. 直线y=a与函数f（x）=x3﹣3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣2，2） 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】先求出其导函数，利用其导函数求出其极值以及图象的变化，进而画出函数f（x）=x3﹣3x对应的大致图象，平移直线y=a即可得出结论． 【解答】解：令f′（x）=3x2﹣3=0， 得x=±1， 可求得f（x）的极大值为f（﹣1）=2， 极小值为f（1）=﹣2， 如图所示，当满足﹣2＜a＜2时，恰有三个不同公共点． 故答案为：（﹣2，2） 17. 在数列中，=1，，则的值为             （     ） A．99            B．49            C．102          D． 101 参考答案： D 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设，不等式的解集记为集合． （Ⅰ）若，求的值． （Ⅱ）当时，求集合． 参考答案： ， （）， ∴，为两根， ∴代入， ． （）， 两根为，， ①，时，． ②，时或． ③，时，或． 综上：时，或， 时，， 时，或． 19. （本题满分12分）三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，是的中点，是与的交点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面． 参考答案： 证明：（Ⅰ）连结              因为是的中点，是与交点, 所以是的中点. 所以 又因为平面，平面 所以平面            （Ⅱ）因为底面，所以 又，所以平面，    由正方形，可知         由（Ⅰ）知，所以，        因为平面， 所以平面         20. 空气质量指数PM2.5（单位：μg/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，解代表空气污染越严重： PM2.5日均浓度 0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250 空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市2012年3月8日﹣4月7日（30天）对空气质量指数PM2.5进行检测，获得数据后整理得到如图条形图： （1）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率； （2）从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中度污染的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分布的意义和作用． 【专题】图表型；概率与统计． 【分析】（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天，从而可求此次监测结果中空气质量类别为良的概率； （2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d．样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．列举出基本事件及符合条件的事件，根据概率公式求出相应的概率即可． 【解答】解：（1）由条形统计图可知，空气质量类别为良的天数为16天， 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为．…（4分） （2）样本中空气质量级别为三级的有4天，设其编号为a，b，c，d． 样本中空气质量级别为四级的有2天，设其编号为e，f．则基本事件有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c）， （b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f）， （d，e），（d，f），（e，f），共15个． 其中至少有一天空气质量类别为中度污染的有9个， ∴至少有一天空气质量类别为中度污染的概率为． 【点评】本题考查条形图，考查学生的阅读能力，考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题． 21. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD． （I）证明：平面PQC⊥平面DCQ （II）求二面角Q-BP-C的余弦值． 参考答案： 见解析 【知识点】利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题  利用直线方向向量与平面法向量解决证明问题 解: 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系. (Ⅰ)依题意有，，， 则，，，所以， ， 即 ⊥，⊥.且故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面.                              ……6分 （II）依题意有，=，=. 设是平面的法向量，则 即 因此可取 设是平面的法向量，则 可取所以且由图形可知二面角为钝角故二面角的余弦值为 22. 某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查,统计数据如下表所示：   积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 合计 24 26 50 (1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？ (2)试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由.(参考下表) P(K2≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考答案： 解:(1)积极参加班级工作的学生有24人,总人数为50人,概率为； 不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人,概率为. (2), ∵K2＞6.635, ∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系.   略