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山西省阳泉市十第一中学高二数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图所示的算法框图输出的结果为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
参考答案:
D
【考点】程序框图.
【分析】按照程序框图的流程,写出前几次循环的结果,并判断每次得到的结果是否满足判断框中的条件,直到不满足执行输出.
【解答】解:第1步:a=1<3,此时b=2,a=2,
第2步:a=2,a≤3,b=4,a=3,
第3步,a=3≤3,b=8,a=4,
第4步,a=4>3,输出b=8,
故选:D.
2. 1与3两数的等差中项是( )
A.1 B. 3 C.2 D.
参考答案:
C
3. 点为所在平面外一点,,垂足为,若,
则点是的( )
(A)内心 (B)外心 (C)重心 (D)垂心
参考答案:
B
4. 设F1和F2为双曲线﹣=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
A. B.2 C. D.3
参考答案:
B
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】=tan60°=?4b2=3c2?4(c2﹣a2)=3c2?c2=4a2?=4?e=2.
【解答】解:如图,∵ =tan60°,
∴=,
∴4b2=3c2,
∴4(c2﹣a2)=3c2,
∴c2=4a2,
∴=4,
∴e=2.
故选B.
【点评】本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用.
5. 已知两点, 给出下列曲线方程:
①; ②; ③; ④.
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
参考答案:
D
略
6. 在极坐标系中,曲线关于( )
A.直线轴对称
B
B.直线轴对称
D.
C.点中心对称 D.极点中心对称
参考答案:
B
将原极坐标方程,化为:
ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ,
化成直角坐标方程为:x2+y2+2x﹣2y=0,
是一个圆心在(﹣,1),经过圆心的直线的极坐标方程是直线轴对称.
故选B.
7. 若函数f (x)=+x,则=
A. B.
C. D.
参考答案:
C
【分析】
利用微积分基本定理即可得到结果.
【详解】∵f (x)=+x,
∴
故选:C
【点睛】本题考查微积分基本定理,考查函数的表达式,考查运算能力.
8. 已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
参考答案:
C
略
9. 已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.,则 B.,则
C.,则 D.,则
参考答案:
B
略
10. 随机变量的分布列为:,其中是常数,则的值为( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (坐标系与参数方程) 在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 .
参考答案:
12. 若二次函数的图象经过坐标原点,且,则 的取值范围是 .
参考答案:
略
13. 命题“”的否定是 __。
参考答案:
14. 已知实数满足下列两个条件:
①关于的方程有解;②代数式有意义。则使得指数函数为减函数的概率为_________.
参考答案:
略
15. 设函数是定义在R上的偶函数,且对任意的恒有,已知当时,,则其中所有正确命题的序号是_____________。
① 2是函数的周期; ② 函数在上是减函数,在上是增函数;
③ 函数的最大值是1,最小值是0; ④ 当时,。
参考答案:
①②④
略
16. 在△ABC中,已知,则角A等于
参考答案:
17. 已知为抛物线C:上的一点,为抛物线C的焦点,其准线与轴交于点,直线与抛物线交于另一点,且,则点坐标为 ▲ .
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知.
(1)若在(0,+∞)有唯一零点,求a值;
(2)求在[0,1]的最小值.
参考答案:
(1)(2)
【分析】
(1)先由得,令,用导数的方法求其最小值,进而可得出结果;
(2)先对求导,分别讨论,,三种情况,即可求出结果.
【详解】(1)由得,
令,,由得;
所以当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
故
因为在有唯一零点,所以只需与直线有一个交点,
.
(2),.
当时,恒成立,所以在上单调递增,因此最小值为;
当时,由得;由得;
所以在上单调递减,在上单调递增;
因此;
当时,在上恒成立,所以在上单调递减;因此,最小值为;
综上,.
【点睛】本题主要考查导数的应用,通常需要对函数求导,用导数的方法研究函数的零点,最值等,属于常考题型.
19.
已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线对称.
(1)求双曲线C的方程;
(2)设直线与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过M(-2,0)及AB的中点,求直线在轴上的截距b的取值范围.(12分)
参考答案:
解析:(1)当表示焦点为的抛物线;(2)当时,,表示焦点在x轴上的椭圆;(3)当a>1时,,表示焦点在x轴上的双曲线. (1设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0∵该直线与圆相切,∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.故设双曲线C的方程为.
又双曲线C的一个焦点为,∴,.∴双曲线C的方程为:.
(2)由得.令
∵直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根.
因此,解得.又AB中点为,
∴直线l的方程为:. 令x=0,得.
∵,∴,∴.
20. (12分)已知,,(其中,为常数)若是的充分而不必要条件,求实数的取值范围.
参考答案:
17.
,可得,记集合
可得,记集合
由是的充分而不必要条件,得, 所以
解得
21. (2010辽宁理数)(本小题满分14分)
已知函数
(I)讨论函数的单调性;
(II)设.若对任意,,求的取值范围。
参考答案:
(Ⅰ)的定义域为(0,+∞). .
当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;
当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;
当-1<<0时,令=0,解得.
则当时,>0;时,<0.
故在单调增加,在单调减少.
(Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而
,
等价于
, ①
令,则
①等价于在(0,+∞)单调减少,即
.
从而
故a的取值范围为(-∞,-2].
22. 已知椭圆的左右焦点为,为椭圆上一点,且的最大值的取值范围是,其中.则椭圆的离心率的取值范围是 .
参考答案:
略
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