辽宁省本溪市县第二中学高三数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数，其图象上两点的横坐标，满足,
且,则有( )
A． B．
C． D．的大小不确定
参考答案：
C
2.
如果数列满足： 是首项为1，公比为2的等比数列，那么的通项公式 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
答案:B.
3. （2016秋?天津期中）设函数f（x）=，关于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣1=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，e﹣） B．（e﹣，+∞） C．（0，e） D．（1，e）
参考答案：
B
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】求出f（x）的单调性和极值，判断方程f（x）=k的根的情况，令g（x）=x2+mx﹣1，根据f（x）=k的根的情况得出g（x）的零点分布情况，利用零点的存在性定理列出不等式求出m的范围．
【解答】解：f′（x）=，
∴当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，e]上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．
∴fmax（x）=f（e）=．
作出f（x）的大致函数图象如下：
由图象可知当0＜k时，f（x）=k有两解，
当k≤0或k=时，f（x）=k有一解，当k时，f（x）=k无解．
令g（x）=x2+mx﹣1，则g（f（x））有三个零点，
∴g（x）在（0，）上有一个零点，在（﹣∞，0]∪{}上有一个零点．
∵g（x）的图象开口向上，且g（0）=0，∴g（x）在（﹣∞，0）上必有一个零点，
∴g（）＞0，即，
解得m＞e﹣．
故选B．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理，二次函数的性质，属于中档题．
4. 在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同推荐方法的种数是
(A)20 (B)22 (C)24 (D)36
参考答案：
C
5. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( )
A． B．
C． D．
参考答案：
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】A由题意可知不等式为，
设所以函数在定义域上单调递增，又因为，所以的解集为
【思路点拨】根据导数的单调性解不等式。
6. 若，，，则( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
7. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为
A． B．
C． D．
【解析】由三视图可知这是一个大圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积为，圆柱的侧面积为，圆锥的母线长为，侧面积为，所以总的侧面积为，选A.
参考答案：
由三视图可知这是一个大圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积为，圆柱的侧面积为，圆锥的母线长为，侧面积为，所以总的侧面积为，选A.
【答案】A
8. 在同一坐标系中画出函数的图象，可能正确的是（ ）
A.B.C.D.
参考答案：
D
试题分析：当a>1时，直线纵截距大于1，对数函数与指数函数得到递增，结合函数图象选D.
考点：函数图象
9. 数列满足，，则“”是“数列是等差数列”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分且必要条件 （D）不充分也不必要条件
参考答案：
A
略
10. 已知数列满足：(m为正整数),
则m的所有可能值为
A. 2或4或8 B. 4或5或8 C. 4或5或32 D. 4或5或16
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. △ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若 则b= 。
参考答案：
12. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且△ABC的面积为，则ab最小值为_______．
参考答案：
48
【分析】
根据条件和余弦定理，求得，进而可得。结合三角形面积公式，可得，代入条件式可得 的关系，结合不等式即可求得的最小值。
【详解】在中，结合余弦定理
可得
所以
由三角形面积公式，可得代入化简可得
代入中可得
因为
所以
解不等式可得
所以最小值为
【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式，不等式在求最值中的应用，属于中档题。
13. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则= ▲
参考答案：
14. 函数的单调递减区间为_______________．
参考答案：
（0,1），（1，e）
15. 若集合的子集只有两个，则实数a=___________．
参考答案：
0或
【分析】
用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零．
【详解】因为集合的子集只有两个，所以中只含有一个元素。
当时，；
当时，若集合只有一个元素，由一元二次方程判别式得。
综上，当或时，集合只有一个元素。故答案为：或。
【点睛】解题时容易漏掉的情况，当方程，不等式，函数最高次项系数带有参数时，要根据情况进行讨论．
16. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为 .
参考答案：
略
17. 在中，角A，B，C的对边分别是，若，则A= 。
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且atanC=2csinA．
（I） 求角C的大小；
（II） 求sinA+sinB的最大值．
参考答案：
【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（I）根据正弦定理和商的关系化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C的值．
（II）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinA+sinB=sin（A+），由范围＜A+＜，利用正弦函数的图象和性质可求最大值．
【解答】解：（I）∵2csinA=atanC，
∴由正弦定理得，2sinCsinA=sinAtanC，
则2sinCsinA=sinA?，
由sinCsinA≠0得，cosC=，
∵0＜C＜π，
∴C=．
（II）则A+B=，
∴B=﹣A，0＜A＜，
∴sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin（A+），
∵0＜A＜，
∴＜A+＜，
∴当A+=时，sinA+sinB取得最大值，
19. 已知函数有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
(1)如果函数在(0,4上是减函数，在（4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；
(2)设常数c∈1,4，求函数 (1≤x≤2)的最大值和最小值．
参考答案：
(1)由函数y＝x＋的性质知：y＝x＋在(0，上是减函数，在 ，＋∞)上是增函数，
∴＝4，∴2b＝16＝24，∴b＝4.
(2)∵c∈1,4，∴∈1,2．
又∵f(x)＝x＋在(0, 上是减函数，在，＋∞)上是增函数，
∴在x∈1,2上，当x＝ 时，函数取得最小值2 ．
又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋，
f(2)－f(1)＝1－．
当c∈1,2)时，f(2)－f(1)>0，f(2)>f(1)，
此时f(x)的最大值为f(2)＝2＋．
当c＝2时，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)，
此时f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3.
当c∈(2,4时，f(2)－f(1)<0，f(2)
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