2022年江苏省淮安市盱眙县实验中学高二数学理月考试题含解析

2022年江苏省淮安市盱眙县实验中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，则为（    ） A 或       B 或 C 或              D 或 参考答案： A 2. 已知命题p：对任意x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围为（　　） A．a≤﹣2或1≤a≤2 B．a≤﹣2或a=1 C．a≥1 D．﹣2≤a≤1 参考答案： B 【考点】复合命题的真假． 【分析】先分别求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∧q为真命题，得到p，q都为真命题，所以对求得的p，q下的a的取值范围求交集即可． 【解答】解：命题p：a≤x2，x2在[1，2]上的最小值为1， ∴a≤1； 命题q：△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1； ∵p∧q是真命题， ∴p，q都是真命题； ∴a≤1，且a≤﹣2，或a≥1； ∴a≤﹣2；或a=1 故选：B 3. 凸边形有条对角线，则凸边形对角线条数为（     ）     A.                 B．            C．       D． 参考答案： 略 4. 如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最大值为 (      ) A.5       B.        C．2+1        D.－1 参考答案： A 5. 已知向量=(2,4), = (1, 1),若向量，则实数的值是（    ）    A．3       B．-1      C．-2       D．-3 参考答案： D 略 6. 设A为圆上的动点，PA是圆的切线，且则P点的轨迹方程为（    ） A.               B. C.               D. 参考答案： B 7. 函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）的图象大致是(     ) A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】通过函数的奇偶性以及特殊值即可得到正确选项． 【解答】解：﹣＜x＜时，y=cosx是偶函数，并且y=cosx∈（0，1]， 函数f（x）=cosx，（﹣＜x＜）是偶函数，cosx∈（0，1]时，f（x）≥0． ∴四个选项，只有C满足题意． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象的判断，一般通过函数的定义域、值域．单调性，奇偶性，变化趋势等知识解答． 8. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（　　） A.          B.        C.         D. 参考答案： B 略 9. “” 是“直线与直线 平行” 的（　 　） A．充分不必要条件   B．必要不充分条件      C．充要条件         D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 10. △ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c若B=2A，a=l，b= ，则c=  (  )   A．           B．2                C．            D．1 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某单位200名职工的年龄分布情况如图3，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是     。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取      人. 参考答案： 略 12. 在平面直角坐标系中，椭圆内接矩形面积的最大值为        . 参考答案： 略 13. 已知平面和直线，给出条件： ①；②；③；④；⑤． （1）当满足条件        时，有；（2）当满足条件       时，有． 参考答案：        ③⑤  ，②⑤  14. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点 为，若，则点的横坐标为        .  参考答案： 3 15. 若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≤m的解集为空集，则m的取值范围为　     　． 参考答案： （﹣∞，﹣4） 【考点】R5：绝对值不等式的解法． 【分析】利用绝对值不等式的几何意义，求解即可． 【解答】解：|x+1|﹣|x﹣3|的几何意义就是数轴上的点﹣1的距离与到﹣3的距离的差，差是﹣4， 若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣3|≤m的解集为空集， 故m＜﹣4， 故答案为：（﹣∞，﹣4）． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，考查计算能力． 16. 给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是          参考答案：  从运行到步长为，运行次数为499 17. 已知两个正数，可按规则扩充为一个新数，在三个数中取两个较大的数，按上述规则再扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作,若，对数和数经过10次操作后,扩充所得的数为，其中是正整数，则的值是       ▲        . 参考答案： 144 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB=60°且边长为的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD．若G为AD的中点， ⑴求证：BG⊥平面PAD； ⑵求PB与面ABCD所成角．                       参考答案： ⑴连接BD，在菱形ABCD中，∠DAB=60°,故△ABD为正三角形,又G为ＡD的中 点，所以，ＢG⊥ＡＤ． △PAD为正三角形，G为AD的中点,所以，PG⊥AD               又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以，ＰG⊥面ABD，故 PG⊥BG 所以，ＢG⊥平面PAD. （2）易知△PBG为等腰直角三角形，可知PB与面ABCD所成角为45。 19. 在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x﹣1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C． （1）求圆C的方程； （2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0得x2+Dx+F=0，由题意求出D、F，求出f（0）的值后代入圆的方程求出F，可得圆C的方程； （2）由f（x）=0得求出A、B的坐标，由条件设出PA、PB的方程和点M、N的坐标，由结论求出MN为直径的圆方程，根据点P的任意性列出方程组，求出定点的坐标即可． 【解答】解：（1）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 令y=0得x2+Dx+F=0，则与x2+2x﹣1=0 是同一个方程， 所以D=2，F=﹣1， 由f（x）=x2+2x﹣1得，f（0）=﹣1， 令x=0 得y2+Ey+F=0，则此方程有一个根为﹣1， 代入解得E=0， 所以圆C 的方程为x2+y2+2x﹣1=0；  …6分 （2）由f（x）=x2+2x﹣1=0得，x=或x=， 不妨设A（，0），B（，0）， 设直线PA的方程：y=k（x++1）， 因以MN为直径的圆经过线段AB上点， 所以直线PB的方程：， 设M（2，k（3+）），N（2，）， 所以MN为直径的圆方程为， 化简得，， 由P点任意性得：，解得x=， 因为，所以x=， 即过线段AB上一定点（，0）…16分． 20. 如图所示，已知长方体ABCD中，为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM． （1）求证：平面ADM⊥平面ABCM； （2）是否存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为．若存在，求出相应的实数t；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）推导出BM⊥AM，AD⊥BM，从而BM⊥平面ADM，由此能证明平面ADM⊥平面ABCM． （2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，并能求出相应的实数t的值． 【解答】证明：（1）∵长方形ABCD中，AB=2AD=2，M为DC的中点， ∴AM=BM=2，AM2+BM2=AB2，∴BM⊥AM， ∵AD⊥BM，AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM， 又BM?平面ABCM，∴平面ADM⊥平面ABCM． 解：（2）以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作平面ABCM的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），B（0，2，0），D（1，0，1），M（0，0，0）， =（0，2，0），=（1，﹣2，1），==（t，2﹣2t，1）， 设平面AME的一个法向量为=（x，y，z）， 则， 取y=t，得=（0，t，2t﹣2）， 由（1）知平面AMD的一个法向量=（0，1，0）， ∵二面角E﹣AM﹣D为大小为， ∴cos===， 解得t=或t=2（舍）， ∴存在满足的点E，使得二面角E﹣AM﹣D为大小为，相应的实数t的值为． 21. (12分)已知圆C1：与圆C2：相交于A、B两点。 ⑴ 求公共弦AB的长； ⑵ 求圆心在直线上，且过A、B两点的圆的方程； ⑶ 求经过A、B两点且面积最小的圆的方程。 参考答案： 解：⑴由两圆方程相减即得 此为公共弦AB所在的直线方程 圆心半径 C1到直线AB的距离为 故公共弦长  ⑵ 圆心，过C1，C2的直线方程为，即 由得所求圆的圆心为 它到AB的距离为 ∴所求圆的半径为 ∴所求圆的方程为  ⑶ 过A、B且面积最小的圆就是以AB为直径的圆 由，得圆心半径 ∴所求圆的方程为 略 22. 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．   （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 参考答案： （1）见解析；（2）. 【分析】 （1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取中点，可证得平面，得到平面的法向量；再通过向量法求得平面的法向量，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】（1）连接， ，分别为，中点    为的中位线 且 又为中点，且    且     四边形为平行四边形 ，又平面，平面 平面 （2）设， 由直四棱柱性质可知：平面 四边形为菱形    则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系： 则：，，，D（0，-1,0） 取中点，连接，则 四边形为菱形且    为等边三角形    又平面，平面    平面，即平面 为平面的一个法向量，且 设平面的法向量，又， ，令，则，        二面角的正弦值为： 【点睛】