2022年辽宁省大连市第五十七高级中学高二数学理期末试卷含解析

2022年辽宁省大连市第五十七高级中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于（    ） A.-24          B.0            C.12            D.24 参考答案： A 2. 如果方程表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是（   ） A．             B．        C．             D． 参考答案： A 3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球 C．至少有一个黑球与至少有一个红球 D．恰有一个黑球与恰有两个黑球 参考答案： D 4. “至多四个”的否定为                                                                                   （     ）        A．至少有四个        B．至少有五个         C．有四个               D．有五个 参考答案： B 5. 定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（　　） A．α＞β＞γ B．β＞α＞γ C．γ＞α＞β D．β＞γ＞α 参考答案： C 【考点】63：导数的运算． 【分析】分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 【解答】解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴﹣1＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立， ∴3γ2＞0 ∴γ3＞1， ∴γ＞1． ∴γ＞α＞β． 故选C． 6. P的坐标满足,过点P的直线与圆相交于A、B两点,则的最小值是(    ) A.           B.4           C.          D.3 参考答案： B 略 7. 数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为    （  ） A   B   C    D  参考答案： B 8. 有一个回归直线方程为,则当变量增加一个单位时,下面结论正确的是(   ) A. 平均增加2个单位               B. 平均减少2个单位 C. 平均增加3个单位               D. 平均减少3个单位   参考答案： B 略 9. 在△ABC中，，是边的中点，，交的延长线于，则下面结论中正确的是(   ) A. △ AED∽△ACB    B. △ AEB∽△ACD    C. △BAE∽△ACE    D. △AEC∽△DAC 参考答案： C 10. “命题为真命题”是“命题为真命题”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： A 【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为由为真命题，得p、q均为真命题，能推出真命题，但反之不成立，所以，是充分不必要条件 故答案为：A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知P(4,2)是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是      ． 参考答案： x+2y8=0 12. 已知圆锥侧面展开图为中心角为135°的扇形，其面积为B，圆锥的全面积为A，则A:B为__________． 参考答案： 圆锥底面弧长 ， ∴，即， ， ， ∴， ． 13. 已知函数f（x）=ex－2x+a有零点，则a的取值范围是_________. 参考答案： （－ ，2ln2－2] 14. 容器中有A，B，C3种粒子，若相同种类的两颗粒子发生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子. 例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子.现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子. 给出下列结论： ① 最后一颗粒子可能是A粒子 ② 最后一颗粒子一定是C粒子 ③ 最后一颗粒子一定不是B粒子        ④ 以上都不正确 其中正确结论的序号是________.（写出所有正确结论的序号） 参考答案： ①③ 【分析】 分析每一次碰撞粒子数量的变化规律，根据规律求解. 【详解】1、最后剩下的可能是A粒子 10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子； 9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子； 所有的17颗B粒子两两碰撞，剩下一颗B粒子； 这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。 2、最后剩下的可能是C粒子 10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子； 所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子； 这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。 3、最后剩下的不可能是B粒子 A、B、C三种粒子每一次碰撞有以下6种可能的情况： A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子；（B多1个，AC共减少两个） B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子；（B少1个，AC总数不变） C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子；（B多1个，AC共减少两个） A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变） A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子。（B多1个，AC共减少两个） B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变） 可以发现如下规律： （1）从B粒子的角度看：每碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个。题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，由于开始B粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个。所以，最后剩下的不可能是B粒子。 （2）从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个。题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的。所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C. 【点睛】本题考查逻辑推理，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题. 15. 在等差数列中，当时，它的前10项和=__________． 参考答案： 略 16. 已知直线和，若∥，则的值为              参考答案： 略 17. 下列命题中：①若函数的定义域为R，则一定是偶函数；②若是定义域为R的奇函数,对于任意的R都有,则函数的图象关于直线对称；③已知是函数定义域内的两个值,且，若,则是减函数；④若是定义在R上的奇函数,且也为奇函数，则是以4为周期 的周期函数.其中正确的命题序号是________． 参考答案： ① ④ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 比较x2+5x+6与2x2+5x+9的大小． 参考答案： 【考点】不等式比较大小． 【分析】作差，与0比较，即可得到结论． 【解答】解：2x2+5x+9﹣（x2+5x+6）=x2+3≥3． ∴x2+5x+6＜2x2+5x+9． 19. 设函数f（x）=ex﹣ax﹣2． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间； （II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k） f′（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值； 【解答】解：（I）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a， 若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增． 若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0； 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0； 所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增． （II）由于a=1，所以，（x﹣k） f′（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1 故当x＞0时，（x﹣k） f′（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）① 令g（x）=，则g′（x）= 由（I）知，当a=1时，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增， 而h（1）＜0，h（2）＞0， 所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点， 故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0； 所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）． 又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3） 由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2． 【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一小题应用分类的讨论的方法，第二小题将问题转化为求函数的最小值问题，本题考查了转化的思想，分类讨论的思想，考查计算能力及推理判断的能力，综合性强，是高考的重点题型，难度大，计算量也大，极易出错． 20. （本题满分14分）．定义：已知函数与，若存在一条直线，使得对公共定义域内的任意实数均满足恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线为曲线与的“左同旁切线”．已知． （1）试探求与是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由． （2）设是函数图象上任意两点，，且存在实数，使得，证明：． 参考答案： （1）由题意知与有公共点，令其为，则，，即，解得．所以在公共点处的切线方程为．下证就是左同旁切线方程，即证． 先构造函数，则，易知在处取得最大值，所以，即．（ 再构造函数，则，易知在处取得最小值，所以，即． 故对任意，恒有成立，即就是左同旁切线方程． （2）因为，所以，所以． 解法一：（作差法，利用（1）的结论） 因为， ， 所以． 解法二：（反证法，利用（1）的结论）令， 则， 显然自相矛盾，故；同理可证．故．（14分） 【解析】略 21. 已知向量    (1)当向量与向量共线时，求的值；   (2)求函数的最大值,并求函数取得最大值时的的值. 参考答案： (1)共线,∴,∴. (2), ，函数的最大值为,得函数取得最大值时 22. 直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）． （1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】直线的一般式方程． 【专题】方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】（1）通过讨论2﹣a是否为0