广东省深圳市上步中学高二数学理测试题含解析

广东省深圳市上步中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 参考答案： B 【考点】62：导数的几何意义． 【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． 【解答】解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选B． 2. 若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”，下列方程： ①x2﹣y2=1　　②x2﹣|x﹣1|﹣y=0　③xcosx﹣y=0　④|x|﹣+1=0 其中所对应的曲线中存在“自公切线”的有（　　） 　 A．①② B． ②③ C． ①④ D． ③④ 参考答案： B 略 3. 设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(     ) A．若a≠－b，则|a|≠|b|  B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b  D．若|a|＝|b|，则a＝－b 参考答案： D 略 4. 方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是(　　) （A）一条直线和一条双曲线（B）两条双曲线（C）两个点（D）以上答案都不对 参考答案： C 5. 已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A. B. C. D. 参考答案： C 由得,设，则存在，使得成立，即成立.所以恒成立，所以成立又当且仅当即取等号.所以,故选C. 点晴:本题主要考查函数单调性，不等式恒成立问题. 本题中由可构造函数，则即恒成立，转化为，再求的最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果. 6. 若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A     B     C     D 参考答案： C   易错原因：将曲线转化为时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线平行的直线与双曲线的位置关系。 7. 下列说法正确的是(   ) A.方程表示过点且斜率为的直线 B.直线与轴的交点为,其中截距 C.在轴、轴上的截距分别为、的直线方程为 D.方程表示过任意不同两点,的直线 参考答案： D 8. 已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则M∩N为（　　） A．（0，1） B．[0，1] C．{0，1} D．? 参考答案： C 【考点】1E：交集及其运算． 【分析】化简集合N，根据交集的定义写出M∩N即可． 【解答】解：集合M={0，1，2}， N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}={﹣1，0，1}， 则M∩N={0，1}． 故选：C． 9. 函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为（     ）        A.-sinx            B.sinx          C.-cosx         D.cosx 参考答案： A 10. 若幂函数f（x）=xa在（0，+∞）上是增函数，则（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a=0 D．不能确定 参考答案： A 【考点】幂函数的性质． 【专题】计算题． 【分析】由幂函数的性质可判断α的取值，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数 在（0，+∞）单调递减可求 【解答】解：由幂函数的性质可知，当α＞0时，函数单调递增，当α＜0时，函数 在（0，+∞）单调递减可求 ∵f（x）=xa在（0，+∞）上是增函数 ∴a＞0 故选A 【点评】本题主要考查了幂函数的单调性的应用，解题 中要注意α的符号对函数单调性的影响．属于基础试题 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，则四个数，，，中最小的是__________． 参考答案： 【分析】 根据基本不等式，先得到，，再由作商法，比较与，即可得出结果. 【详解】因为，所以，， 又，所以， 综上，最小. 故答案为 【点睛】本题主要考查由不等式性质比较大小，熟记不等式的性质，以及基本不等式即可，属于常考题型. 12. 下列说法中正确的有________ ①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。 ②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大 ③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。 ④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型。 参考答案： ③ 13. 已知直线2x+my+1=0与直线y=3x-1平行，则m= _______. 参考答案： 14. 已知函数在R上有两个极值点，则实数的取值范围是               参考答案： 15. 已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则的最小值为________． 参考答案： 16. 抛物线y2 = 4x的焦点坐标是__                 ． 参考答案： （1，0）  略 17. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调递减区间。 参考答案： （Ⅰ）函数的最小正周期为； （Ⅱ）求函数的单调递减区间。 19. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点． （1）求PB和平面PAD所成的角的大小； （2）证明：AE⊥平面PCD； （3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值． 参考答案： 【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小． （2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD． （3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值． 【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A， ∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角， 在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°， ∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°． （2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA， 由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A， ∴CD⊥面PAC， 又AE?面PAC，∴AE⊥CD， 由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA， ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC， 又PC∩CD=C， 综上，AE⊥平面PCD． （3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD， ∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角， 由已知得∠CAD=30°， 设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=， 在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM?PD=PA?AD， ∴AM==， 在Rt△AEM中，sin∠AME=． ∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为． 20. 如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的四个顶点分别是A1，A2，B1，B2，△A2B1B2是边长为2的正三角形，其内切圆为圆G． （1）求椭圆C及圆G的标准方程； （2）若点D是椭圆C上第一象限内的动点，直线B1D交线段A2B2于点E． （i）求的最大值； （ii）设F（﹣1，0），是否存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=？若存在，请求出圆M的方程；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由△A2B1B2是边长为2的正三角形，可得b=，，即可得出椭圆C的标准方程．设内切圆的半径为r，则，即可得出内切圆G的标准方程． （2））（i）设直线B1D的方程为：y=kx﹣，．与椭圆的方程联立解得D，可得|DB1|．直线A2B2的方程为：，与y=kx﹣联立解得E．可得|EB1|． 可得=，变形利用基本不等式的性质即可得出． （ii）假设存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=．当切点为点O时，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．证明即可． 【解答】解：（1）∵△A2B1B2是边长为2的正三角形，∴b=， =3， =． ∴椭圆C的标准方程为：． 设内切圆的半径为r，则=1． ∴内切圆G的标准方程为（x﹣1）2+y2=1． （2）（i）设直线B1D的方程为：y=kx﹣，． 联立，化为， 解得D， ∴|DB1|==． 直线A2B2的方程为：， 联立，解得E． ∴|EB1|==． ∴==≤1+=，当且仅当时取等号． ∴的最大值为． （ii）假设存在以椭圆C上的点M为圆心的圆M，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=． 当切点为点O时，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）． 其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）． 下面证明：设N， 则|NF|2﹣2|NT|2 =|NF|2﹣2（|NG|2﹣1） =﹣2 =16+10+8cosθ﹣2 =0， ∴． 因此存在以椭圆C上的点M（3，0）为圆心的圆M，其圆M的方程为：（x﹣3）2+y2=10，使得过圆M上任意一点N，作圆G的切线（切点为T）都满足=． 21. 已知数列{}的前n项和n(n＋1)(n＋2),试求数列{}的前n项和. 参考答案： =－=n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)=n(n＋1).当n=1时，a1=2,S1=×1×(1＋1)×(2＋1)=2,∴a1= S1.则＝n(n＋1)是此数列的通项公式。∴＝1－＝. 略 22. 已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）． （1）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集； （2）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[1，2]?A，求实数m的取值范围． 参考答案： 【分析】（1）当m=﹣1时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． （2）由题意可得，当x∈[1，2]时，关于x的不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即﹣2≤x+m≤2 恒成立，即﹣x﹣2≤m≤2﹣m 恒成立，由此可得实数m的取值范围． 【解答】解：（1）当m=﹣1时，函数f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2，即|x﹣1|+|2