云南省曲靖市西平镇龙华中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析

云南省曲靖市西平镇龙华中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 右图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上的所有的点（　 ）． Ａ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 Ｂ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 Ｃ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 Ｄ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变 参考答案： A 解法1．如图，平移需满足，解得．因此首先将的图象上的所有的点向左平移个单位长度， 又因为该函数的周期为，于是再需把的图象上的所有的点横坐标缩短到原来的倍．故选Ａ． 2. 设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则mn的最大值为 A．5          B．         C．        D．1 参考答案： C 3. 复数在复平面上对应的点位于(    ) A.第一象限    B.第二象限       C.第三象限     D.第四象限 参考答案： A 4. 观察下图： 1 2　3　4 3　4　5　6　7 4　5　6　7　8　9　10 …… 则第________行的各数之和等于                                                                   (　　)． A．2 014     B．2 013      C．1 007     D．1 008 参考答案： C 5. 已知等差数列和等比数列，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则与的大小关系为（   ） A、    B、    C、       D、 参考答案： B 略 6. 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）≠0，当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，且f（﹣3）=0，则不等式＜0的解集是（　　） A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） 参考答案： D 【考点】6A：函数的单调性与导数的关系． 【分析】由条件利用导数求得当x＜0时，是增函数，故当x＞0时，也是增函数，的图象关于原点对称．再结合f（﹣3）=﹣f（3）=0，求得不等式的解集． 【解答】解：∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0， ∴[]′=＞0， ∴当x＜0时，是增函数，故当x＞0时，也是增函数． ∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数， ∴为奇函数，的图象关于原点对称， 函数的单调性的示意图，如图所示： ∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0，∴由不等式＜0， 可得x＜﹣3 或0＜x＜3， 故原不等式的解集为{x|x＜﹣3 或0＜x＜3 }， 故选：D． 7. 函数的导函数的部分图象为（   ）   A                 B                  C                 D 参考答案： D 略 8. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是(    ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60° 参考答案： B 【分析】 “至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60°. 故选：B. 【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题. 9. 将函数的图像向左平移个单位，得到函数 的图像，则=（     ） A.     B.    C.    D.   参考答案： C 略 10. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则椭圆方程为（　　） （A）            （B）   （C）             （D） 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，若在上单调递减，则实数的取值范围为            ．   参考答案： 12. 已知f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集为　　． 参考答案： {x|﹣1＜x＜1} 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化为|x|＜1，解可得x的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，由于f（1）=0，则f（x）＞0?f（x）＞f（1）， f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减， 则f（x）＞f（1）?f（|x|）＞f（1）?|x|＜1， 解可得：﹣1＜x＜1， 则不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜1}； 故答案为：{x|﹣1＜x＜1}． 13. 两平行直线：3x+4y-2=0与：6x+8y-5=0之间的距离为             .  参考答案： 略 14. 已知点P(x，y)的坐标满足条件则z＝2x－y的最大值是_________． 参考答案： 4 15. 过抛物线的焦点，方向向量为的直线方程是　　▲　　． 参考答案： 略 16. 参考答案： 60°  17. 在直角三角形ABC中，∠C为直角，两直角边长分别为a，b，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为；按此方法，在三棱锥S﹣ABC中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a，b，c，通过类比可得三棱锥S﹣ABC外接球的半径为　　． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知正项数列{an}满足：a1=，an+1=． （1）证明{}为等差数列，并求通项an； （2）若数列{bn}满足bn?an=3（1﹣），求数列{bn}的前n项和． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（1）由a1=，an+1=，两边取倒数可得： =+，﹣=，再利用等差数列的通项公式即可得出． （2）bn?an=3（1﹣），可得bn=2n﹣．再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 【解答】（1）证明：由a1=，an+1=， 两边取倒数可得： =+，﹣=， ∴{}为等差数列，首项为，公差为． ∴=+（n﹣1）=， ∴an=． （2）解：∵bn?an=3（1﹣）， ∴=3（1﹣），解得bn=2n﹣． ∴数列{bn}的前n项和=（2+4+…+2n）﹣+…+． =﹣+…+=n（n+1）﹣+…+． 设Tn=++…+， ∴=+…++， ∴=1++…+﹣=﹣， ∴Tn=4﹣． ∴数列{bn}的前n项和=n2+n﹣4+． 19. 如图，已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，右顶点到右准线的距离为2，离心率为．过椭圆的左焦点F1 任意作一条直线l 与椭圆交于A，B 两点．设A（x1，y1），B（x2，y2）． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l 的斜率k=1 时，求三角形ABF2 的面积； （3）当直线l 绕F1 旋转变化时，求三角形ABF2 的面积的最大值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）由=2，e==，求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆C的标准方程； （2）由（1）可知：直线l的方程为y=x+1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得△ABF2的面积； （3）设直线l的方程为x=my﹣1，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及函数的单调性记录求得△ABF2的面积的最大值． 【解答】解：（1）由题意可知： =2，e==，解得：a=2，c=1， b2=a2﹣c2=3， ∴椭圆的标准方程：； （2）直线l的方程为y=x+1， 则，整理得：7y2﹣6y﹣9=0， 则y1+y2=，y1?y2=﹣， 丨y1﹣y2丨==， ∴三角形ABF2 的面积S=×2c×丨y1﹣y2丨=； 三角形ABF2 的面积； （3）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为x=my﹣1， ，整理得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0， 由韦达定理可知：y1+y2=，y1?y2=﹣， 丨y1﹣y2丨==， 设t=t≥1，则m2=t2﹣1， 丨y1﹣y2丨===， f（t）=3t+，f′（t）=3﹣＞0，函数f（t）单调递增， 则当t=1时，丨y1﹣y2丨有最大值3， 故三角形ABF2的面积的最大值为S=×2c×丨y1﹣y2丨max=3， 综合可知：△ABF2 的面积的最大值． 20. 某厂商调查甲、乙两种不同型号电视在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场” （1）求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数； （2）若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a＞b的概率． 参考答案： 【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图． 【分析】（1）由茎叶图和平均数的定义可得，即可得到符合“星际卖场”的个数． （2）记事件A为“a＞b”，由题意和平均数可得a+b=8，列举可得a和b的取值共9种情况，其中满足a＞b的共4种情况，由概率公式即可得到所求答案． 【解答】解：（1）根据茎叶图， 得甲组数据的平均数为：（10+10+14+18+22+25+27+30+41+43）=24， 由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5． （2）记事件A为“a＞b”， ∵乙组数据的平均数为26.7， ∴=26.7， 解得a+b=8．∴a和b取值共有9种情况，它们是： （0，8 ），（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1），（8，0）， 其中a＞b有4种情况，它们是：（5，3），（6，2），（7，1），（8，0）， ∴a＞b的概率P（A）=． 21. 已知 （1）当时，求的极大值点； （2）设函数的图象与函数的图象交于、两点，过线段的中点做轴的垂线分别交、于点、，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行． 参考答案： （1）， 令h’(x)=0，则4x2+2x-1=0，解出x1=,  x2= ， 所以的极大值点为． （2）设P、Q的坐标分别是．则M、N的横坐标． ∴C1在点M处的切线斜率为 ，C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则，即 则 设t=,  则…………① 令 ,则, ∴r(t)在[1,+∞）上单调递增，故r(t)> r(1)=0．∴，这与①矛盾，假设不成立， 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行． 22. 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵用程序表示计算10年以后该城市人口总数的算法； ⑶用程序表示如下算法：计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人． 参考答案： （1）          (2)程序如下：