辽宁省葫芦岛市建昌中学高三数学理联考试题含解析

辽宁省葫芦岛市建昌中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 为便民惠民，某通信运营商推出“优惠卡活动”．其内容如下：卡号的前7位是固定的，后四位从“0000”到“9999”共10000个号码参与该活动，凡卡号后四位带有“6”或“8”的一律作为优惠卡，则“优惠卡”的个数是（　　） A．1980 B．4096 C．5904 D．8020 参考答案： C 【考点】D8：排列、组合的实际应用． 【分析】根据题意，用间接法分析，先计算卡号后四位不带有“6”或“8”的卡的数目，用总数减去其数目即可得答案． 【解答】解：根据题意，卡号后四位不带有“6”或“8”的卡， 即只有其余的8个数字的卡有8×8×8×8=84=4096个， 而卡的总数为10000个， 则“优惠卡”有10000﹣4096=5904个； 故选：C． 【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意利用间接法分析，可以避免分类讨论． 2. 下列说法中正确的是（     ） A、若命题为：对有，则使； B、若命题为：，则； C、若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件； D、方程有唯一解的充要条件是： 参考答案： C 略 3. 下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（　　） A．y=2﹣x B．y=tanx C．y=x3 D．y=log3x 参考答案： C 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【分析】A．不具有奇偶性； B．在定义域上不具有单调性； C．利用函数的奇偶性单调性即可判断出正误； D．不具有奇偶性． 【解答】解：A．y=2﹣x是非奇非偶函数； B．y=tanx在定义域上不具有单调性； C．y=x3是R上的奇函数且具有单调递增； D．y=log3x是非奇非偶函数． 故选：C． 4. 把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为(　　) A.        B.     C.        D. 参考答案： C 因为C在平面ABD上的投影为BD的中点O，在边长为1的正方形ABCD中，AO＝CO＝AC＝，所以侧视图的面积等于S△AOC＝CO·AO＝××＝. 5. 已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则                   B．若，，则 C．若，，则           D．若，，则 参考答案： C 6. 函数在区间上的图象是连续不断的，且方程在上仅有一个实根，则的值（    ） A．大于                           B．小于   C．等于                           D．与的大小关系无法确定 参考答案： D 略 7. 函数的零点所在的大致范围是                            A．（1,2）              B．（2,3）        C．（，1）和（3,4）   D．（e，+）   参考答案： B 略 8. .设，则 （A）       （B）        （C）        （D） 参考答案： A 9. 已知α、β都为锐角，且、，则α﹣β＝（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解. 【详解】因为α、β都为锐角，且、， 所以， ， 由， 且α、β都为锐角， 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 10. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是（　　） A. －1 B. C. 1 D. 2 参考答案： A 【分析】 由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【详解】代入，，则，； 再次代入得，；继续代入得，；不难发现出现了循环，周期为3 则当时，，，跳出循环得到 故选 【点睛】本题主要考查的是程序框图，在循环结构中找出其循环规律，即可得出结果，较为基础 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. i为虚数单位，设复数z满足 ，则z的虚部是        参考答案： ； 12. 设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且bi=ai2（i=1，2，3），则数列{bn}的公比为    　． 参考答案： 3+2 【分析】设等差数列{an}的公差为d，可得d＞0，由数列{bn}为等比数列，可得b22=b1?b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比． 【解答】解：设等差数列{an}的公差为d， 由a1＜a2可得d＞0， ∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2， b3=a32=（a1+2d）2， ∵数列{bn}为等比数列，∴b22=b1?b3， 即（a1+d）4=a12?（a1+2d）2， ∴（a1+d）2=a1?（a1+2d）  ① 或（a1+d）2=﹣a1?（a1+2d），② 由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去； 由②可得a1=d，或a1=d， 当a1=d时，可得b1=a12= b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去； 当a1=d时，可得b1=a12=， b2=（a1+d）2=， ∴数列{bn}的公比q==3+2， 综上可得数列{bn}的公比q=3+2， 故答案为：3+2 13. 在△ABC中，若，，则=　　． 参考答案： 3 略 14. （文）若二项式展开式的各项系数的和为，则其展开式的所有二项式系数中最大的是                . (用数字作答) 参考答案： 令，得二项式的各项系数为，所以。所以二项式系数最大的为。 15. 已知一组抛物线，其中为2、4中任取的一个数，为1、3、5中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是          。 参考答案： 略 16. 已知函数f（x）=cos2x，若将其图象沿x轴向左平移a个单位（a＞0），所得图线关于原点对称，则实数a的最小值为　　． 参考答案：   【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的对称性可得结论． 【解答】解：将函数f（x）=cos2x图象沿x轴向左平移a个单位（a＞0）， 所得函数解析式为：y=cos（2x+2a）， 由于所得图象关于原点对称， 所以：2a=kπ+，k∈Z，解得：a=+，k∈Z，a＞0， 所以：实数a的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质的应用，属于基础题． 17. 函数的图像在点处的切线斜率为______. 参考答案： 6 【分析】 先求得导函数，令求得切线的斜率. 【详解】依题意，故，也即切线的斜率为. 【点睛】本小题主要考查导数的运算，考查切线斜率的求法，属于基础题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （1）已知，且，求的值； （2）已知为第二象限角，且，求的值.   参考答案： 略 19. （12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，且在x＝－1处取得极值． (Ⅰ)求a，，的值； （Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值。 参考答案： 解析：（Ⅰ）∵为奇函数，∴ 即 ∴                                     -----------1分 ∵的最小值为，                                        -----------2分 又直线的斜率为 因此，                                ------------4分 ∴，，．                             -------------6分 （Ⅱ）． 　　　，列表如下： 极大 极小 　　                                                         -----------9分 ∵，， ∴在上的最大值是，最小值是．  ---------12分 20. 设满足条件，则的最小值　　　　； 参考答案： 略 21. （12分）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中两点坐标分别为（4，0）、（0，－2），连结． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由． 　　　　　　   参考答案： 解．（1）．  ……………3分 （2）是直角三角形．  ……………4分 证明：令，则． ．． ． 5分 ． 是直角三角形．  …………………………6分 （3）能． 当矩形两个顶点在上时，如图1，交于． ，．． 设，则，， ． =．………7分 当时，最大．． ，． ，．…………………9分 当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2， ，．． 设，， ． =． …………………10分 当时，最大． ， ．      ………………12分 综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）； 当矩形一个顶点在上时，坐标为 略 22. （本小题满分12分）        已知椭圆的左焦点F为圆的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为。 （I）求椭圆方程； （II）已知经过点F的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，点M（），证明：为定值。 参考答案： 略