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辽宁省葫芦岛市南票中学高二数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合和集合,则等于( )
A.(0,1) B.[0,1]
C.[0,+∞) D.[0,1)
参考答案:
B
2. 在中,已知,则的最大角的大小为__________
参考答案:
3. 若函数在区间(1,2)内单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
由题意可得在区间上恒成立,可得的取值范围.
【详解】解:由区间内单调递增,
可得,
可得,,当,
可得,
故选A.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性,属于基础题型,注意运算准确.
4. 点P(﹣1,2)到直线8x﹣6y+15=0的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
参考答案:
B
【考点】点到直线的距离公式.
【专题】计算题.
【分析】点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离:d=,由此能求出点P(﹣1,2)到直线8x﹣6y+15=0的距离.
【解答】解:点P(﹣1,2)到直线8x﹣6y+15=0的距离:
d==,
故选B.
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用,解题时要注意公式的灵活运用,合理地进行求解.
5. 函数在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16
参考答案:
A
【分析】
求出,判断在[0,3]上单调性,再进行求解.
【详解】,令,得或,所以当时,,即为单调递减函数,当时,,即为单调递增函数,所以,又,所以,故选A.
【点睛】本题考查利用导数求函数最值问题,考查计算能力,属基础题
6. 曲线在点(-1,-3)处切线的斜率为 ( )
A 7 B -7 C 1 D -1
参考答案:
C
略
7. 已知,则下列不等式中正确的是
A. B.
C. D.
参考答案:
A
8. 等比数列中,,则( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 与圆相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有
A. 3条 B. 4条 C. 5条 D. 6条
参考答案:
B
10. 用演绎法证明函数是增函数时的小前提是
A.增函数的定义 B.函数满足增函数的定义
C.若,则 D.若,则
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过抛物线y2=2px (p>0)焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,M、N为准线l上两点,AM⊥l,BN⊥l,M、N为垂足,C为线段AB中点,D为线段MN中点,CD交抛物线于点E,下列结论中正确的是 .(把你认为正确的序号都填上)
①+为定值
②以AB为直径的圆与l相切
③以MN为直径的圆与AB所在直线相切
④以AF为直径的圆与y轴相切
⑤E为线段CD中点
参考答案:
①②③④⑤
略
12. 2018年6月份上合峰会在青岛召开,面向高校招募志愿者,中国海洋大学海洋环境学院的8名同学符合招募条件并审核通过,其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名.若将这8名同学分成甲乙两个小组,每组4名同学,其中大一的两名同学必须分到同一组,则分到乙组的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的分组方式共有 种.
参考答案:
24
13. 一列火车在平直的铁轨上行驶,由于遇到紧急情况,火车以速度
(t的单位:s,v的单位:m/s)紧急刹车至停止。则紧急刹车后火车运行的路程是__________(m)(不作近似计算).
参考答案:
14. 给定下列四个命题:(1)是的充分不必要条件
(2)若命题“”为真,则命题“”为真
(3)若函数在上是增函数,则
(4)若则 其中真命题是_______________(填上所有正确命题的序号)
参考答案:
略
15. 已知点P在曲线上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是 .
参考答案:
由题意可得:,即切线的斜率取值范围为,
据此可知倾斜角α的取值范围是.
16. 一个几何体的三视图如图所示,已知正(主)视图是底边长为1的平行四边形,侧(左)视图是一个长为,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形,则该几何体的体积V是________.
参考答案:
:由三视图可知,该几何体是一个平行六面体(如图),其底面是边长为1的正方形,高为.
所以V=1×1×=.
17. 三棱锥V-ABC中,AB=AC=10,BC=12,各侧面与底面所成的二面角都是45°,则棱锥的侧面积是_______,高是 .
参考答案:
.解析:据面积射影定理,,.
∵,∴.
又∵,且 .
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 、已知{}是正数组成的数列, =1,且点(, )(n∈)在函数y=x+1的图象上,
(1) 求数列{}的通项公式.
(2) 若数列{}满足=1, = + ,求证: .< (14分)
参考答案:
19. 设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值;
(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
参考答案:
略
20. 椭圆Г: =1(a>b>0)过点(1,),且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点,椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的.
(1)求椭圆Г的方程;
(2)若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N,点P为线段MN的中点,求证:直线MN与直线OP不垂直.
参考答案:
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)利用点到直线的距离公式整理可知a=2b,将点(1,)代入椭圆方程计算可知a=2、b=1,进而可得结论;
(2)通过设点M(x1,y1)、N(x2,y2)、P(x0,y0),结合中点坐标公式,将点M、N代入椭圆方程并做差,计算即得结论.
【解答】(1)解:椭圆中心到l的距离为==×2c,即a=2b,
点(1,)代入椭圆方程,得:a=2、b=1,
∴椭圆Г的方程为: +y2=1;
(2)证明:法一:设点M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),
则,,
∵?=﹣,即?=﹣,
∴kMN?kOP=﹣≠﹣1,即直线MN与直线OP不垂直.
法二:设直线方程为y=kx+b,M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),
联立,整理得:(1+4k2)x2+8kbx+4b2﹣4=0,
∴x1+x2=﹣,y1+y2=k(x1+x2)+2b=,
∴kOP===﹣,
∵kMN?kOP=﹣≠﹣1,
∴直线MN与直线OP不垂直.
21. 已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b (a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)在区间[-2,4]上的最大值。
参考答案:
略
22. 设函数,.
(Ⅰ)求函数单调递减区间;
(Ⅱ)若函数的极小值不小于,求实数a的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)和;(Ⅱ).
【分析】
(I)先求得的表达式,然后利用导数求得的单调递减区间.(II)求得的解析式和它的导数.对分成两者情况,通过的单调区间,求得的极小值,根据极小值不小于列不等式,利用构造函数法解不等式求得的取值范围.
【详解】解:(Ⅰ)由题可知,所以
由,解得或.
综上所述,的递减区间为和.
(Ⅱ)由题可知,所以.
(1)当时,,则在为增函数,在为减函数,所以在上没有极小值,故舍去;
(2)当时,,由得,由于,所以,
因此函数在为增函数,在为减函数,在为增函数,
所以极小值
即.
令,则上述不等式可化为.
上述不等式 ①
设,则,故在为增函数.
又,所以不等式①的解为,因此,所以,解得.综上所述.
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数求与函数极值有关的问题,考查化归与转化的数学思想方法,综合性很强,属于难题.
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