福建省龙岩市长汀县涂坊中学高二数学理期末试题含解析

福建省龙岩市长汀县涂坊中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 空间中有四点，，，，则两直线的夹角是（    ） A.         B.         C.         D. 参考答案： A 略 2. 设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是                   (    ) A.  27                B.72            C.36                D.24 参考答案： A 3. 下列说法正确的是（　　） A．若a＜b，则am2＜bm2． B．命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假． C．原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为真命题． D．命题“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x＞1”． 参考答案： B 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】A，当m2=0时，则am2=bm2． B，命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假． C，原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为：若x≠2，则x2≠4，此命题为假命题． D，命题“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x≥1”． 【解答】解：对于A，当m2=0时，则am2=bm2．故错． 对于B，命题“p或q”为真，且“p”为真，则q可真可假．正确． 对于C，原命题“若x=2，则x2=4”，此命题的否命题为：若x≠2，则x2≠4，此命题为假命题．故错 对于D，命题“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x≥1”故错． 故选：B 　 4. 如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，别且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是   D   A   B   C   参考答案： C 5. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（    ） A．24           B．26            C．27             D．28 参考答案： B 6. 直线的倾斜角，直线，则直线的斜率为 (    ) A．           B.       C.        D.     参考答案： A 略 7. 若函数，则 A．   B．  C．3    D．4 参考答案： C 8. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（    ） A．     B．      C．     D．   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网 参考答案： D 略 9. 已知命题p：存在实数使，命题q：存在实数，若p且q为假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 10. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ）     A.       B.      C.       D. 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数f（x）=x2+2x+3在自变量x从1变化到3的过程中的平均变化率是　 　． 参考答案： 6 【考点】变化的快慢与变化率． 【分析】求出自变量x的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案． 【解答】解：△x=3﹣1=2， △y=32+6+3﹣（12+2+3）=12． 所以函数的平均变化率为=6． 故答案为：6． 12. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、-140为公差的等差数列则参与这项游戏活动获得奖金的期望是______元 参考答案： 500 【详解】由题设,知获一、二、三等奖的概率分别为 . 由,得. 于是,. 又获一、二、三等奖的奖金分别为 . 故=500(元) 13. 正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成角为，则正四棱锥的体积为_______； 参考答案： 14. 已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z = 参考答案： 2i 15. 五个不同的点最多可以连成线段的条数为　  　． 参考答案： 10 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【专题】计算题；转化思想；定义法；排列组合． 【分析】根据组合的定义即可求出． 【解答】解：五个不同的点最多可以连成线段的条数为C52=10， 故答案为：10 【点评】本题考查了简单的组合问题，属于基础题． 　 16. 空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　　． 参考答案： 3πa2 【考点】球内接多面体． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，求出对角线长，即可求出球的表面积． 【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为，所以这个球面的面积． 故答案为：3πa2 【点评】本题是基础题，考查球的内接体知识，球的表面积的求法，考查空间想象能力，计算能力，分析出，正方体的对角线就是球的直径是解好本题的关键所在． 17. 已知命题命题则命题中真命题有_____________个． 参考答案： 3 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 证明以下结论: (1);(2). 参考答案： 证明:(1)要证, 只需要证明, 即, 从而只需证明, 即,这显然成立. ∴.(5分,论证过程正确即可,方法不唯一) (2)要证, 需证明, 即 从而只需证明, 又,∴, ∴成立. (10分,论证过程正确即可,方法不唯一) 19. 已知两个定点，动点满足.设动点P的轨迹为曲线E，直线. （1）求曲线E的轨迹方程； （2）若l与曲线E交于不同的C，D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率； （3）若， Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM，QN，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点. 参考答案： （1）；（2）；（3）. 【分析】 （1）设点P坐标为（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由，则点到边的距离为，由点到线的距离公式得直线的斜率；（3）由题意可知：O，Q，M，N四点共圆且在以OQ为直径的圆上，设，则圆的圆心为运用直径式圆的方程，得直线的方程为，结合直线系方程，即可得到所求定点． 【详解】（1）设点的坐标为 由可得，， 整理可得 所以曲线的轨迹方程为. （2）依题意，，且，则点到边的距离为 即点到直线的距离，解得 所以直线的斜率为. （3）依题意，，则都在以为直径的圆上 是直线上的动点，设 则圆的圆心为，且经过坐标原点 即圆的方程为 ， 又因为在曲线上 由，可得 即直线的方程为 由且可得，解得 所以直线是过定点. 【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 20. （10分）已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝，＝. （1）求和的夹角的余弦值； （2）若向量k＋与k－2互相垂直，求实数k的值． 参考答案： a＝(－1＋2, 1－0,2－2)＝(1,1,0)，    b＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)．       ………..2分 (1) ∴a和b的夹角的余弦值为.          ………..5分Ks5u (2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)．     ………..7分 ∴(k－1，k,2)·(k＋2, k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， 即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.                ………..10分 21. 已知函数f（x）=ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1． （Ⅰ） 求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（I）由于函数f（x）=ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．可得f′（1）=0，即可得到a．再利用导数的几何意义即可得出切线的斜率，进而得出切线方程． （II）利用导数研究函数的单调性极值，再计算出区间端点的函数值即可比较出最值． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+3x+2， ∴f'（x）=3ax2+3． ∵函数f（x）的一个极值点是1， ∴f'（1）=3a+3=0． 解得：a=﹣1． 经检验，a=﹣1满足题意． ∴f（x）=﹣x3+3x+2， ∴f（2）=0，f'（2）=﹣9． ∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=﹣9（x﹣2），即9x+y﹣18=0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：f'（x）=﹣3x2+3． 令f'（x）=0，得 x1=﹣1，x2=1． 当x在[﹣2，3]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表 x ﹣2 （﹣2，﹣1） ﹣1 （﹣1，1） 1 （1，3） 3 f'（x）   ﹣ 0 + 0 ﹣   f（x） 4 ↘ 0 ↗ 4 ↘ ﹣16 ∴函数f（x）在[﹣2，3]上的最大值为4，最小值为﹣16． 22. 已知函数，若存在，使，则称是函数的一个不动点．设二次函数． （Ⅰ）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵函数恒有两个相异的不动点， ∴恒有两个不等的实根，对恒成立， ∴　，得的取值范围为．……………4分 （Ⅱ）由得， 由题知，，……………6分 设中点为，则的横坐标为，……………10分 ∴　， ∴　，当且仅当，即 时等号成立，∴　的最小值为．……………12分   略