湖南省衡阳市洲市中学2023年高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：
①
②
③
④
其中，真命题是（ ）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．
【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．
【解答】解：
对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确
对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确
对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，
根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确
对应④m有可能在平面α内，故不正确，
故选C
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
2. “一元二次方程有实数解”是“” 的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
C
3. 方程(2x＋3y－1)( －1)＝0表示的曲线是( )
A．两条直线 B．两条射线 C．两条线段 D．一条直线和一条射线
参考答案：
D
4. 已知向量a＝(m－2, m＋3), b＝(2 m＋1, m－2),且a与b的夹角大于900,则实数m的取值范围是( )
A. m＞２或m＜－ B. －＜m＜２
C. m≠２ D. m≠２且m≠－
参考答案：
B
5. 设{an}是等比数列，m，n，s，t∈N*，则“m+n=s+t”是“am?an=as?at”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】等差数列与等比数列；简易逻辑．
【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：设等比数列的公比为q，则由通项公式可得am?an=，as?at=，
若m+n=s+t，则am?an=as?at成立，即充分性成立，
当q=1时，若am?an=as?at，则m+n=s+t不一定成立，即必要性不成立，
故“m+n=s+t”是“am?an=as?at”充分不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质是解决本题的关键．
6. 设全集I=｛1，2，3，4，5，6｝，集合A，B都是I的子集，若AB=｛1，3，5｝，则称A，B为“理想配集”，记作（A，B），问这样的“理想配集”（A，B）共有（ ）
A．7个 B．8个 C．27个 D．28个
参考答案：
C
7. 已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点 ，则该双曲线的离心率为( )
A． B．1+ C． D．1+
参考答案：
B
略
8. 直线x﹣y=0的倾斜角为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
参考答案：
A
【考点】直线的倾斜角．
【分析】先由直线的方程求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，求出直线的倾斜角．
【解答】解：直线x﹣y=0的斜率为k=1
设直线的倾斜角为α
∴tanα=1
∵α∈[0，π]
∴
故选A
9. 在平面直角坐标系中，曲线C：经过伸缩变换后，所得曲线的焦点坐标为（ ）．A. B． C． D．
参考答案：
D
略
10. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知平面内有一条线段,,动点满足的中点,则p点的轨迹方程____________
参考答案：
12. 若函数是幂函数，则_________。
参考答案：
1
13. 已知函数在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M-m=
参考答案：
32
略
14. 函数有极值的充要条件是 ▲ ．
参考答案：
15. 位于坐标原点的质点M按下述规则移动，质点每次移动一个单位；移动方向只能为向上或向右；向上移动的概率为。质点M移动4次后位于点Q（3，1）的概率是 。
参考答案：
略
16. 记F ( x，y ) = ( x – y ) 2 + (+) 2（y ≠ 0），则F ( x，y )的最小值是 。
参考答案：
17. 从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，
则=
参考答案：
1
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）求关于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.
参考答案：
解方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a≠0，则方程至少有一个正根等价于
或
或-1
0.
综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1.
方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0,
∴x=1满足条件；
若a≠0，∵Δ=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)
=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.
故而当方程没有正根时，应有解得a≤-1,
∴至少有一正根时应满足a>-1且a≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1.
19. 为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6
名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：
5,6,7,8,9,10.
把这6名学生的得分看成一个总体．
(1)求该总体的平均数；
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样
本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
参考答案：
解： (1)总体平均数为(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5. ········· 4分
(2)设A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本结果． 7分
事件A包括的基本结果有：(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共有7个
基本结果．································· 10分
所以所求的概率为P(A)＝.························ 12分
20. (12分)两艘轮船都停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4h与2h，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.
参考答案：
21. 已知复数，其中i是虚数单位，根据下列条件分别求实数m的值.
（Ⅰ）复数z是纯虚数；
（Ⅱ）复数z在复平面内对应的点在直线上.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）或.
【分析】
（Ⅰ）根据纯虚数为实部为0，虚部不为0即可得到方程，于是求得答案；
（Ⅱ）将复数在复平面内对应的点表示出来，代入直线上，即可得到答案.
【详解】解：因为，复数可表示为
，
（Ⅰ）因为为纯虚数，所以
解得；
（Ⅱ）复数在复平面内对应的点坐标为
因为复数在复平面内对应的点在直线上
所以
即
解得或.
【点睛】本题主要考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.
22. 如图，椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求 的最大值及取得最大值时m的值．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，矩形的面积公式，直接求出a，b，然后求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ） 通过，利用韦达定理求出|PQ|的表达式，通过判别式推出的m的范围，①当时，求出取得最大值．利用由对称性，推出，取得最大值．③当﹣1≤m≤1时，取得最大值．求的最大值及取得最大值时m的值．
【解答】解：（I）…①
矩形ABCD面积为8，即2a?2b=8…②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆M的标准方程是．
（II），
由△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0得．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
．
当l过A点时，m=1，当l过C点时，m=﹣1．
①当时，有，，
其中t=m+3，由此知当，即时，取得最大值．
②由对称性，可知若，则当时，取得最大值．
③当﹣1≤m≤1时，，，
由此知，当m=0时，取得最大值．
综上可知，当或m=0时，取得最大值．
