湖南省益阳市南大膳镇中学2023年高三数学文模拟试题含解析

湖南省益阳市南大膳镇中学2023年高三数学文模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若是互不相同的空间直线， 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 （     ） A．若∥，， ，则∥ B．若⊥，，则 C．若，，则∥             D．若⊥，∥，则 参考答案： D 略 2. 命题“若方程x2＋a＝0无实根，则a≥0”其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，正确的命题个数有     A．1个          B．2个           C． 3个            D．4个 参考答案： B 3. 双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为、，抛物线的准线为，焦点为，与的一个交点为，线段的中点为，是坐标原点，则         A．      B．       C．      D． 参考答案： C 略 4. 已知 A. 1            B. 2          C. 3           D. 4 参考答案： A 5. 已知两条直线:y=m 和:y=(m＞0)，与函数的图像从左至右相交于点A,B,与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，的最小值为(      )   A．      B.      C.      D. 参考答案： D 略 6. 已知都是正实数，且满足，则的最小值为 （A）12   （B) 10 （C）8   （D）6 参考答案： C 略 7. 已知、是非零向量且满足，，则△ABC的形状是(     ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由、是非零向量且满足，，利用向量垂直与数量积的关系可得，进而得到，即可得出． 【解答】解：∵、是非零向量且满足，， ∴， ∴， ∴，∠BAC=60°． ∴△ABC是等边三角形， 故选：C． 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、等边三角形的判定方法，属于基础题． 8. 在等差数列等于(    )       A．9                         B． 27                     C．18                       D．54 参考答案： A 9. 已知集合，集合，则为 A. B. C. D. 参考答案： C 略 10. 设是等差数列的前项和，已知，则等于  A．13              B．35               C．49             D．63     参考答案： C 在等差数列中，，选C. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 由曲线与曲线围成的平面区域的面积为　　　· 参考答案： 12. 观察下列等式：                                    ……        由以上各式推测第4个等式为                                        。 参考答案： 略 13. 若函数的所有正零点构成公差为的等差数列，则     ． 参考答案： 14. 函数y＝的定义域是______________． 参考答案： 15. 已知，且为第二象限角，则的值为             . 参考答案： 16. 三视图如右的几何体的体积为        参考答案： 1  略 17. 已知函数f（x）=，若存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b有两个不同的零点，则a的取值范围是　　． 参考答案： 2＜a＜4 【考点】52：函数零点的判定定理． 【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围． 【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点， ∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点， 由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增， 要使函数f（x）在[0，+∞）不单调， 即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0， 可得2＜a＜4． 故答案为：2＜a＜4． 【点评】本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的数学思想，属于中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分） 已知函数，，,令. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间； （Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 参考答案： 解：（1）定义域为(0,+∞)， 当时， 令，，    令 所以，增区间：(0,1) ，减区间：(1,+∞)                       …… 5分 （2）法一：令 . 所以. 当时，因为，所以所以在上是递增函数， 又因为.所以关于的不等式不能恒成立. 当时， .令得， 所以当时，；当时，， 因此函数在是增函数，在是减函数. 故函数的最大值为. 令，因为，， 又因为在上是减函数，所以当时，. 所以整数的最小值为2.                             …… 12分 法二：由恒成立知恒成立， 令，则， 令，因为，，则为增函数. 故存在，使，即， 当时，，为增函数，当时，，为减函数. 所以， 而，所以，所以整数的最小值为2.                       …… 12分     19. (本小题满分13分) （Ⅰ）写出两角差的余弦公式cos(α-β)=       ，并加以证明； （Ⅱ）并由此推导两角差的正弦公式sin(α-β)=           。 参考答案： 解：（Ⅰ）两角差的余弦公式      ……1分 在平面直角坐标系xOy内，以原点O为圆心作单位圆O，以Ox为始边，作角α,β，设其终边与单位圆的交点分别为A,B，则向量，向量, 记两向量的夹角为，则  …4分 (1)如果,那么，∴ ∴                    ……………………6分 (2)如果,如图，不妨设α=2kπ+β+θ,k∈Z, 所以有 同样有            …………………………8分 （Ⅱ），          …………………………9分 证明如下：把公式中的换成， 得           ………………………………………………13分 20. （本小题满分14分）已知数列的前项和记为，且满足． 求数列的通项公式； 设，记，求证：． 参考答案： （Ⅰ）当时，，解得， ----------------1分      当时，， ，-----------------------------------------------------------------------2分 两式相减得：， 即，  ------------------------------------------------------------------------------------------5分 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，------------------6分 （Ⅱ）证法1：当为偶数时， ----------------------------7分                     ，--------------------------------10分=；-----------11分                                              当是奇数时，. 综上可知.---------------------------------------------------------------------------------14分 证法2：当时，，，,不等式显然成立-------8分 当时,要证明， 只要证明， 只要证明.    --------9分 又因为当时，， 即 故 而       -----------------------------------------------12分 ----------------------------------------------------------------------13分 .-------------------------------------------------------------------------------14分 21. 中，三个内角A、B、C所对的边分别为、、，若，． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）已知的面积为，求函数的最大值. 参考答案： 解：（1）因为，所以，      　　　 因为，由正弦定理可得：              ，整理可得：  所以，。                       (2)由得 从而=                                        当时，函数取得最大值。    略 22. （本小题满分12分）已知数列 (I)若，求x的取值集合D； (Ⅱ)当函数的定义域为(I)中的集合D时，设函数， 求函数的值域。 参考答案：