湖南省湘潭市县凤凰实验中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省湘潭市县凤凰实验中学高三数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，给出下列命题：   ①若，则；②若ab≠0，则；③若，则；   ④若，则a，b中至少有一个大于1．其中真命题的个数为 (A)2                (B)3            (C)4         (D)1 参考答案： A 2. 设函数f(x)的定义域为D，若满足条件：存在，使f(x)在[a，b]上的值域为，则称f(x)为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是 A．（﹣∞，ln2﹣1） B．（﹣∞，ln2﹣1] C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞） 参考答案： C ∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”， 且满足存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[]， ∴f（x）在[a，b]上是增函数； ∴ ，  即 在（0，+∞）上有两根， 即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点， g′（x）= ， 令g′（x）＞0，解得：x＞2， 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2， 故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，  故选C．   3. 已知sin（α+）+cos（α﹣）=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： C 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】利用和与差的正弦公式、诱导公式对已知等式进行变形转换，得到：sin（α+）+cos（α﹣）=sin（α+），然后再利用诱导公式将cos（α+）转化为﹣sin（α+）的形式，即可解答． 【解答】解：∵sin（α+）+cos（α﹣） =sinαcos+cosαsin+sinα =sinα+cosα =（sinα+cosα） =sin（α+） =﹣， ∴sin（α+）=﹣． 又cos（α+）=cos（α++）=﹣sin（α+）， ∴cos（α+）=． 故选：C． 4. ，，，则与的大小关系为（   ）。 A．      B．    C．     D．不确定 参考答案： C 知识点：换底公式；比较大小. 解析 ：解：因为，，，所以，然后两边同时取以为底的对数可以得到，，所以由两式可得，即，故选C. 思路点拨：首先根据的范围判断出，然后两边同时取以为底的对数即可比较大小. 5. 已知函数，若在区间内有零点，则的取值范围是  A. B. C. D. 参考答案： D 将化简可得，由得，当时，，由题意知存在，，即，所以，由知，当时，，，，…，所以选D. 点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得，由的范围，可得，即的取值范围，解出，根据可得结果. 6. 由直线,,曲线及轴所围成的封闭图形的面积是 （      ） A.               B.           C.           D. 参考答案： A 7. 函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（ ）。 A．                 B．          C．                 D． 参考答案： A 8. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：          （    ）     A．，                B．，     C．，        D．以上都不正确           参考答案： A 略 9. 在一次马拉松决定中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示． 13 14 15 0  0  3  4  5  6  6  8  8  8 1  1  1  2  2  2  3  3  4  4  5  5  5 0  1  2  2  3  3  3 若将运动员按成绩由好到差编为1～30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130,151]上的运动员人数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： C 10. 已知集合，集合为整数集，则（    ） A、           B、             C、       D、 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数的值域是__________． 参考答案： ∵对数函数在上为单调增函数 ∴在上为单调减函数 ∵时， ∴， ∴函数的值域是， 故答案为． 12. 某高校进行自主招生面试时的程序如下：共设3道题，每道题答对给10分、答错倒扣5分（每道题都必须回答，但相互不影响）．设某学生对每道题答对的概率都为，则该学生在面试时得分的期望值为      分． 参考答案： 15 13. 若偶函数()满足条件：，则函数的一个周期为          . 参考答案： 1等 14. 在等腰直角三角形中，，在斜边上任取一点，则的概率为               参考答案： 15. 设正四面体ABCD的所有棱长都为1米，有一只蚂蚁从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能的选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，则它爬了4米之后恰好位于顶点A的概率为                 参考答案： 略 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则       . 参考答案： 0 17. 下列说法中，正确的是________． ①任取x>0，均有3x>2x.   ②当a>0，且a≠1时，有a3>a2. ③y＝()－x是增函数．   ④y＝2|x|的最小值为1. ⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称． 参考答案： ①④⑤ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. .(本题满分12分）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，，为中点． （1）证明：平面 （2）求二面角的余弦值． 参考答案： （1）由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形， ，且，从而． 所 以为直角三角形，．又．  所以平面． （2）取中点，连结，由（1）知， 得．为二面角的平面角． 由得平面． 所以，又，故．所以二面角的余弦值为 19. （12分）如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为m，圆环的圆心距离地面的高度为，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处. (1)试确定在时刻t时蚂蚁距离地面的高度; (2)画出函数在时的图象； (3)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过m？ 参考答案：        解析：(1)…………………………4分  (2)图象如右实线部分…………………………8分  (3)由解得       ， 所以一圈内,有分钟的时间蚂蚁距离地面超过m. …………………………12分   20. （本小题满分12分）设函数在处的切线与平行。 （Ⅰ）试分析的单调性； （Ⅱ）若在，上恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 21. (本题满分14分) 己知某公司生产某品牌服装的年固定成木为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每销售一千件的收入为R(x)万元，且。（注：年利润＝年销售收入一年总成本） （1）写出年利润W（万元）关于年产品x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？           参考答案： 解：（1）当时， 当时，           ………………………………5分 （2）①当时，由 当 ∴当时，取最大值，且  ……9分 ②当时，=98 当且仅当   ……………………………13分 综合①、②知x=9时，W取最大值. 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装生产中获利最大.…………14分 22. 如图,三棱柱ABC—A1B1C1中, 侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中点。 (Ⅰ)求证：A1B∥平面AMC1； (Ⅱ)求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值； 参考答案： 解：（Ⅰ）连接交于,连接. 在三角形中，是三角形的中位线， 所以∥, 又因平面，平面 所以∥平面.  ……………5分 （Ⅱ）（法一）设直线与平面所成角为， 点到平面的距离为，不妨设，则， 因为,， 所以.                 ……………8分 因为， 所以,. . ，，.       ……………12分 （法二）如图以所在的直线为轴, 以所在 的直线为轴, 以所在的直线为轴，以的长度为单位长度建立空间直角坐标系. 则,,,，,,.设直线与平面所成角为，平面的法向量为.则有,,， 令,得， ∴.                 略