辽宁省沈阳市第一零七中学2023年高三数学理联考试题含解析

辽宁省沈阳市第一零七中学2023年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，，则λμ=(  )     A、    B、   C、－       D、－ 参考答案： 答案:A 2. 如图，若程序框图运行后输出的结果是57，则判断框中应填入的条件是（　　）   A．A＜4 B．A＜5 C．A≤5 D．A≤6 参考答案： B 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出判定框中应填的条件是什么． 【解答】解：由A=1，B=1，满足条件，得出A=2，B=2×1+2=4； 由A=2，B=4，满足条件，得出A=3，B=2×4+3=11； 由A=3，B=11，满足条件，得出A=4，B=2×11+4=26； 由A=4，B=26，满足条件，得出A=5，B=2×26+5=57； 由A=5，B=57，不满足条件，终止循环，输出B=57． 因此判定框中应为A＜5． 故选：B． 3. 在三棱锥中，，二面角的余弦值是，若都在同一球面上，则该球的表面积是(  ) （A）          （B）             （C）                  （D） 6 参考答案： D 略 4. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为其中一个切点，则 (　　) A．  B． C．  D．与2的大小关系不确定 参考答案： A 略 5. 数列3，5，9，17，33，…的通项公式等于（     ） A．         B．       C.      D． 参考答案： C 略 6. 设圆锥曲线的两个焦点分别为、，若曲线上存在点满足：：=4：3：2，则曲线的离心率等于（    ） A.   B.   C.   D. 参考答案： D 略 7. 将函数的图象向右移动个单位长度，所得的部分图象如右图所示，则的值为（    ） A．   B．    C．    D． 参考答案： A   考点：三角函数求角   【思路点睛】在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数。 ①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好 8. 二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab的值为（   ） A．4                     B．8                   C．12                  D．16 参考答案： B 9. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 参考答案： C 10. 函数的图象大致是 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△中， ，，则    ；的最小值是     . 参考答案： 12. 已知集合，， （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围. 参考答案： 略 13. 已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为      。 参考答案： 0．6 略 14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为         ． 参考答案： 30 考点：计数原理的应用． 专题：计算题． 分析：由题意知本题可心先做出所有情况，再减支渠不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲、乙被分在同一个班的有种，两个相减得到结果． 解答： 解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班， 用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是， 顺序有种，而甲、乙被分在同一个班的有种， ∴不同的分法的总数为： =30． 故答案为：30． 点评：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题． 15. ． 参考答案： π+2 16. 如下图，是圆的切线，切点为，点、在圆上，， ，则圆的面积为            .   参考答案： 略 17. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为（ ），曲线C在点（2，）处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为  ▲  . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 从广州某高校男生中随机抽取名学生，测得他们的身高(单位: cm)情况如表1: 分组 频数 频率 合计                     表1   （1）求的值； （2）按表1的身高组别进行分层抽样, 从这名学生中抽取名担任广州国际马拉松志愿者, 再从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作, 求这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的概率． 参考答案： （1），，；（2）． 试题分析：（1）先利用频率之和为1求出的值，再利用求出的值，进而利用频数之和为100求出的值；（2）利用列举法写出从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作的所有基本事件，并从中找出这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm的基本事件，利用古典概型公式求出概率． 试题解析：（1）解：由，得. …………………………1分 由，得，                       …………………………2分 由，得.            …………………………3分 （2）解：依据分层抽样的方法，抽取的名志愿者中身高在区间上的有名，记为；      …………………………………………5分 而身高在区间上的有名，记为. ……………………7分 记“这名担任迎宾工作的志愿者中至少有名的身高不低于cm”为事件， 从身高不低于cm的志愿者中随机选出名担任迎宾工作，共有种不同取法：，，，，． …………………………9分 事件包含的基本事件有种：，，，，．                        …………………………11分 ∴为所求．                        …………………………12分 考点：1、频率分布表；2、古典概型；3、分层抽样． 19. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲     (1)设函数 ．求不等式 的解集． (2)若a,b,c都为正实数，且满足a+b+c=2．证明： ． 参考答案： 20. 已知． （I）求函数f（x）的最小值； （ II）（i）设0＜t＜a，证明：f（a+t）＜f（a﹣t）． （ii）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2．证明：x1+x2＞2a． 参考答案： 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题：综合题． 分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，并求导函数，确定函数的单调性，可得x=a时，f（x）取得极小值也是最小值； （Ⅱ）（ⅰ）构造函数g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），当0＜t＜a时，求导函数，可知g（t）在（0，a）单调递减，所以g（t）＜g（0）=0，即可证得； （ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，所以0＜a﹣x1＜a，利用（ⅰ）即可证得结论． 解答： （Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞）．求导数，可得f′（x）=x﹣=．… 当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增． 当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值f（a）=a2﹣a2lna．… （Ⅱ）证明：（ⅰ）设g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），则 当0＜t＜a时，g′（t）=f′（a+t）+f′（a﹣t）=a+t﹣+a﹣t﹣=＜0，… 所以g（t）在（0，a）单调递减，g（t）＜g（0）=0，即f（a+t）﹣f（a﹣t）＜0， 故f（a+t）＜f（a﹣t）．… （ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增， 不失一般性，设0＜x1＜a＜x2， 因0＜a﹣x1＜a，则由（ⅰ），得f（2a﹣x1）=f（a+（a﹣x1））＜f（a﹣（a﹣x1））=f（x1）=f（x2），… 又2a﹣x1，x2∈（a，+∞）， 故2a﹣x1＜x2，即x1+x2＞2a．… 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值、最值，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性． 21. 不等式选讲 设函数． （I）解不等式； （II）求函数的最小值． 参考答案： （Ⅰ）令，则 ．．．．．．．．．．．．．．．3分 作出函数的图象，它与直线的交点为和． 所以的解集为． （Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．       略 22. 已知为定义在上的奇函数，当时，函数解析式为 。 求b的值，并求出在上的解析式。 求在上的值域。 参考答案： 略