江西省新余市第五中学2023年高二数学理联考试卷含解析

江西省新余市第五中学2023年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　） A．若,,则 B．若,,则 C．若,,则 D．若,,则 参考答案： B 2. 已知函数，则（   ） A. 2 B. 0 C. 1 D. －1 参考答案： A 【分析】 利用对数函数是奇函数以及对数值，直接化简求解即可。 【详解】由题得， 令，则 所以，从而可知是奇函数 所以 ， 即 所以 故选A. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及对数函数的计算，属于一般题。 3. 若椭圆与双曲线有相同焦点，是这两条曲线的一个交点，则的面积是（   ） A．4         B．1       C. 2        D． 参考答案： B 4. 在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（   ）                        参考答案： B 5. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（    ） A．若，则           B．若，则 C．若，则          D．若，则 参考答案： C 略 6. 已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为(     ) A．5 B．﹣38 C．10 D．38 参考答案： D 【考点】简单线性规划． 【专题】数形结合；数形结合法；不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+4y得y=﹣x+， 平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时， 直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大， 由，解得， 即A（3，8）， 此时z=2×3+4×8=6+32=38， 故选：D 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 7. 给定一组函数解析式: 如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是(    ) A.⑥③④②⑦①⑤ B.⑥④②③⑦①⑤ C.⑥④③②⑦①⑤ D.⑥④③②⑦⑤① 参考答案： C 8. 不等式的解集为     A.                        B.     C.                 D. 参考答案： B 9. 若双曲线的离心率大于2，则m的取值范围为（   ） A．(－1,0)         B．(－3,0)       C.(－∞,－1)         D．(－∞,－3) 参考答案： D 10. 已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程． 【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 代入椭圆方程得， 相减得， ∴． ∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2， ==． ∴， 化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9． ∴椭圆E的方程为． 故选D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为   ▲    ． 参考答案： 略 12. 已知线性回归方程=9，则b=　 　． 参考答案： 4 【考点】线性回归方程． 【专题】计算题． 【分析】将代入线性回归方程，即可求解． 【解答】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4 故答案为：4 【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题． 13. 阅读如图所示的算法框图： 若， ， 则输出的结果是        ．（填中的一个） 参考答案：   略 14. 已知函数若函数有三个零点，则实数m的取值范围是_______. 参考答案： 【分析】 函数有三个零点方程有3个根方程有3个根函数与函数图象有3个交点，利用导数作出函数  的图象，求出实数的取值范围. 【详解】函数有三个零点函数与函数图象有3个交点， （1）当时，， 函数在单调递增，单调递减， （2）当时，， 函数的图象如下图所示： . 【点睛】本题考查利用函数的零点，求参数的取值范围，考查利用数形结合思想、函数与方程思想解决问题的能力. 15. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是        . 参考答案： 略 16. 已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且OA⊥OB(其中O为坐标原点)，则实数a等于_______。 参考答案： 2，-2. 17. 如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆，直线，。 （1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点； （2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程． 参考答案： 解：（1）解法1：的方程，    即恒过定点 圆心坐标为，半径，， ∴点在圆内，从而直线恒与圆相交于两点。 解法2：圆心到直线的距离， ，所以直线恒与圆相交于两点。 （2）弦长最小时，，，， 代入， 得的方程为。 略 19. （本小题14分） (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线的方程。 参考答案： （1）∵                           ------（3分）         ∴               即：                            ----------（4分） （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式可得       即                             ------------（2分）        ∵                  ----------------（3分）       ∴        即：-                ----------------------------------（4分） 20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，点E为侧棱PB的中点． 求证：（1）PD∥平面ACE； （2）平面PAC⊥平面PBD． 参考答案： （1）证明见解析；（2）证明见解析。 【分析】 （1）连接OE．易证PD∥OE，根据线面平行判定定理得证； （2）要证平面PAC⊥平面PBD，即证BD⊥平面PAC 【详解】(1) 连接OE．   因为O为正方形ABCD的对角线的交点，   所以O为BD中点．   因为E为PB的中点，所以PD∥OE．   又因OE?面ACE，PD平面ACE，   所以PD∥平面ACE．   (2) 在四棱锥P－ABCD中，   因为PC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，   所以BD⊥PC．   因为O为正方形ABCD的对角线的交点，   所以BD⊥AC．   又PC、AC?平面PAC，PC∩AC＝C，   所以BD⊥平面PAC．   因为BD?平面PBD，   所以平面PAC⊥平面PBD． 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 21. （理）证明： 参考答案： 略 22. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （I）求直方图中的a值； （II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数． 参考答案： 【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值； （II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解． （Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值． 【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a， ∴解得：a=0.3． （II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下： 由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12， 又样本容量=30万， 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万． （Ⅲ）根据频率分布直方图，得； 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5， ∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x， 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5， 解得x=0.06； ∴中位数是2+0.06=2.06． 【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．