广东省茂名市麻岗中学高三数学理期末试题含解析

广东省茂名市麻岗中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是（　） 　Ａ.            B            C.           D. 参考答案： D 略 2. 在△ABC中，a=3，b=2，cosC=，则△ABC的面积为（　　） A．3 B．2 C．4 D． 参考答案： C 【考点】三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系． 【专题】计算题；解三角形． 【分析】根据三角形内角的范围，利用同角三角函数的关系算出sinC==．再由三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积． 【解答】解：∵在△ABC中，cosC=， ∴A∈（0，π），可得sinC===． 因此，△ABC的面积为S=absinC==4． 故选：C 【点评】本题给出三角形的两条边与夹角的余弦，注三角的面积．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题． 3. 若，则结论正确的是（   ） A．     B．    C．   D．　 参考答案： C 4. 若复数是实数，则的值为（    ） A．            B．3          C．0           D． 参考答案： A 略 5. 空间中，设表示直线，，表示不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A.若，，则      B . 若，，则 C.若，，则     D. 若，，则 参考答案： B 略 6. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为 （A）         （B）1           （C）              （D） 参考答案： C 本题主要考查了抛物线的定义，合理转化充分利用定义是解题的关键，难度中等。设A、B两点到准线的距离分别为、，则，则AB中点到准线的距离，故AB中点到轴的距离为。 7. 在等差数列中，，则的前5项和    (      ) A.7       B.15     C.  20      D.   25 参考答案： B 略 8. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且，则k=（　　） A. 10 B. 7 C. 12 D. 3 参考答案： C 【分析】 由等差数列的前项和公式解得，由， 得，由此能求出的值。 【详解】解：差数列的前n项和为，， ，解得， 解得，故选：C。 【点睛】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9. 设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则?R（A∩B）等于(     ) A．R B．{x|x∈R，x≠0} C．{0} D．? 参考答案： B 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】集合A为绝对值不等式的解集，由绝对值的意义解出，集合B为二次函数的值域，求出后进行集合的运算． 【解答】解：A=[0，2]，B=[﹣4，0]，所以A∩B={0}，?R（A∩B）{x|x∈R，x≠0}， 故选B． 【点评】本题考查对集合的认识以及集合的基本运算，属基本题． 10. 某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取取名同学，其中高一的同学有30名，则 A.65 B.75 C.50 D.150 参考答案： 【答案解析】B  由题意得：，解得n=75．故选：B． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值是      ． 参考答案： ﹣4 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z， 由图可知，当直线y=3x﹣z过点C（0，4）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 12. 下列命题是真命题的序号为：              ①定义域为R的函数，对都有，则为偶函数 ②定义在R上的函数，若对，都有，则函数的图像关于中心对称 ③函数的定义域为R，若与都是奇函数，则是奇函数 ④函数的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图形。 ⑤若函数有两不同极值点，且，则关于的方程的不同实根个数必有三个 参考答案： ③④⑤ 略 13. 设变量满足约束条件则目标函数 的最大值是___________。   参考答案： 略 14. 已知函数，则不等式的解集是_______． 参考答案： 试题分析：函数，，由解得，由解得，故不等式的解集为.   15. 不等式 的解集是              . 参考答案： 或 ，当时，由得，得；当时，由得，解得，所以不等式的解集为. 16. 若               。 参考答案： 略 17. 在一个容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字1未污损，即9，10，11，，那么这组数据的方差S2可能的最大值是　   　． 参考答案： 【考点】BC：极差、方差与标准差． 【分析】设这组数据的最后2个分别是：10+x，y，得到x+y=10，表示出S2，根据x的取值求出S2的最大值即可． 【解答】解：设这组数据的最后2个分别是：10+x，y， 则9+10+11+（10+x）+y=50， 得：x+y=10，故y=10﹣x， 故S2= [1+0+1+x2+（﹣x）2]= + x2， 显然x最大取9时，S2最大是， 故答案为： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分14分）设函数其中为自然对数的底数，. (Ⅰ)当时，求函数的最小值； (Ⅱ)证明：对任意正数，都有； (Ⅲ)若，证明：. 参考答案： (Ⅰ)时，      则；令得      当时，，在是减函数；       当时，，在是增函数；      ∴在时取得最小值，即       ………4分 (Ⅱ) ∵   ，不妨设（其中），则 原式 = = ，                       ………8分 (Ⅲ)证法一：数学归纳法 ①当时，由(Ⅱ)知命题结论成立； ②假设当时命题成立；  即若，则 当时，满足 设 由(Ⅱ)得 = 即时命题成立.； 由①②可知，. 证法二：若 由(Ⅱ)可得 = = =.……14分 19. （01全国卷文） (12分) 已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk = 2550． (Ⅰ)求a及k的值； (Ⅱ)求(…)． 参考答案： 解析：（Ⅰ）设该等差数列为｛an｝，则a1 = a，a2 = 4，a3 = 3a，Sk = 2550． 由已知有a＋3a = 2×4，解得首项a1 = a = 2，公差d = a2－a1= 2．          ——2分         代入公式得 ， 整理得 k2＋k－2550 = 0， 解得 k = 50，k = －51（舍去）．         ∴ a = 2，k = 50．                                                  ——6分 （Ⅱ）由得Sn= n (n＋1)， ∴                                                                      ，                                  ——9分 ∴ ．        ——12分 20. （本小题满分12分） 设函数     （Ⅰ）求函数的单调减区间     （Ⅱ）若，求函数的值域 参考答案： 略 21. 已知点A（x1，y1），D（x2，y2）（其中x1＜x2）是曲线y2=4x（y≥0）上的两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C，且|BC|=2． （Ⅰ）当点B的坐标为（1，0）时，求直线AD的斜率； （Ⅱ）记△OAD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求证：＜． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（Ⅰ）由B的坐标，可得A的坐标，又|BC|=2，可得D的坐标（3，2），运用直线的斜率公式，即可得到所求值； （Ⅱ）法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m），运用三角形的面积公式可得S1=|m|，将直线方程和抛物线的方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，以及梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围； 法二：设直线AD的方程为y=kx+m，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式可得三角形的面积S1=|m|，梯形的面积公式可得S2，进而得到所求范围． 【解答】解：（Ⅰ）由B（1，0），可得A（1，y1）， 代入y2=4x，得到y1=2， 又|BC|=2，则x2﹣x1=2，可得x2=3， 代入y2=4x，得到y2=2， 则； （Ⅱ）证法一：设直线AD的方程为y=kx+m．M（0，m）， 则． 由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0， 所以， 又， 又注意到，所以k＞0，m＞0， 所以==， 因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1， 所以． 证法二：设直线AD的方程为y=kx+m． 由，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0， 所以， ， 点O到直线AD的距离为， 所以， 又， 又注意到，所以k＞0，m＞0， 所以， 因为△=16﹣16km＞0，所以0＜km＜1， 所以． 22. 已知函数f(x)＝x2＋(a∈R)． (1)若f(x)在x＝1处的切线垂直于直线x－14y＋13＝0，求该点的切线方程，并求此时函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： (1)f′(x)＝2x－，根据题意f′(1)＝2－2a＝－14，解得a＝8，此时切点坐标是(1,17)，故所求的切线方程是y－17＝－14(x－1)，即14x＋y－31＝0.当a＝8时，f′(x)＝2x－＝， 令f′(x)>0，解得x>2，令f′(x)<0，解得x<2且x≠0，故函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，0)和(0,2)． (2)f′(x)＝2x－＝. ①若a<1，则f′(x)>0在区间[1,2]上恒成立，f(x)在区间[1,2]上单调递增，函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(2)＝4＋a； ②若1≤a≤8，则在区间(1，)上f′(x)<0，函数单调递减，在区间(，2)上f′(x)>0，函数单调递增，故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(1)，f(2)中的较大者，f(1)－f(2)＝1＋2a－4－a＝a－3，故当1≤a≤3时，函数的最大值为f(2)＝4＋a，当38时，f′(x)<0在区间[1,2]上恒成立，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，函数的最大值为f(1)＝1＋2a. 综上可知，在区间[1,2]上，当a≤3时，函数f(x)max＝4＋a，当a>3时，函数f(x)max＝1＋2a. 不等式f(x)≤a2