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湖南省娄底市梓门镇大村中学高二数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将A,B,C,D,E,F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A,B,C三个字母连在一起,且B在A与C之间的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
将A,B,C三个字捆在一起,利用捆绑法得到答案.
【详解】由捆绑法可得所求概率为.
故答案为C
【点睛】本题考查了概率的计算,利用捆绑法可以简化运算.
2. 给出下列结论:
①命题“?x∈R,x2+x≥0”的否定是“?x∈R,x2+x<0”;
②命题“若x2+2x+q=0有不等实根,则q<1”的逆否命题是真命题;
③命题“平行四边形的对角线互相平分”的否命题是真命题;
④命题;命题q:设A,B,C为△ABC的三个内角,若A<B,则sinA<sinB.命题p∨q为假命题.
其中,正确结论的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
A
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,命题“?x∈R,x2+x≥0”的否定是“?x∈R,x2+x<0”;
②,若x2+2x+q=0有不等实根,则△=4﹣4q>0?q<1,故原命题为真,所以逆否命题是真命题;
③,不是平行四边形的对角线不互相平分;
④,在△ABC中,A<B?a<b?2RsinA<2RsinB.所以命题q为真命题;
【解答】解:对于①,命题“?x∈R,x2+x≥0”的否定是“?x∈R,x2+x<0”,正确;
对于②,若x2+2x+q=0有不等实根,则△=4﹣4q>0?q<1,故原命题为真,所以逆否命题是真命题,正确;
对于③,不是平行四边形的对角线不互相平分,故正确;
对于④,因为x2﹣x+=(x﹣)2+>0,所以命题p是假命题;命题q:在△ABC中,A<B?a<b?2RsinA<2RsinB.所以命题q为真命题,故错;
故选:A.
3.
参考答案:
B
4. 命题“若∠C=90°,则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
【考点】四种命题的真假关系.
【分析】直接判断原命题真假,写出原命题的逆命题,判断其真假,然后结合原命题的逆命题与否命题互为逆否命题,再根据互为逆否命题的两个命题共真假加以判断.
【解答】解:命题“若∠C=90°,则△ABC是直角三角形”是真命题,
∴其逆否命题也为真命题.
原命题的逆命题为:“若△ABC是直角三角形,则∠C=90°”是假命题(△ABC是直角三角形不一定角C为直角),
∴原命题的否命题也是假命题.
∴真命题的个数是2.
故选:C.
5. 已知双曲线C:﹣=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A. ﹣=1 B. ﹣=1 C. ﹣=1 D. ﹣=1
参考答案:
A
略
6. 圆的圆心到双曲线的渐近线的距离为2,则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
7. 已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( )
A.(-3,6) B.(-∞, -3)∪(6,+ ∞) C.[ -3,6] D. (-∞, -3]∪[6,+ ∞)
参考答案:
B
8. 阅读下列材料,然后解答问题;对于任意实数,符号[]表示“不超过的最大整
数”,在数轴上,当是整数,[]是,当不是整数时,[]是左侧的第一个整数,这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯()函数,如[-2]=-2、[-1.5]=-2、[2.5]=2 定义函数{}=-[],给出下列四个命题;
①函数[]的定义域是,值域为[0,1] ②方程{}=有无数个解;
③函数{}是周期函数 ④函数{}是增函数。
其中正确命题的序号是( )
A.①④ B.②③ C.①② D.③④
参考答案:
B
9. 已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
代入椭圆方程得,
相减得,
∴.
∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2, ==.
∴,
化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为.
故选D.
10. 给出下列说法:
①命题“若x=kπ(k∈Z),则sin2x=0”的否命题是真命题;
②命题“?x∈R,2<”是假命题且其否定为“?x∈R,2≥”;
③已知a,b∈R,则“a>b”是“2a>2b+1“的必要不充分条件.
其中说法正确的是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
参考答案:
C
考点:命题的真假判断与应用.
专题:简易逻辑.
分析:求出使sin2x=0的x值判断①;由基本不等式得到2>并写出原命题的否定判断②;举例说明③正确.
解答: 解:若sin2x=0,则2x=kπ,即,故①错误;
2=,命题“?x∈R,2<”是假命题,其否定为“?x∈R,2≥”,故②正确;
当a=0,b=﹣1时,由a>b不能得到2a>2b+1,反之成立.故③正确.
∴正确的命题是②③.
故选:C.
点评:本题考查了命题的真假判断与应用,考查了充分条件和必要条件的判定方法,考查了命题的否定,是基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=________.
参考答案:
-9
略
12. 展开式中二项式系数最大的项为 .(求出具体的项)
参考答案:
略
13. 抛物线的准线方程为_____
参考答案:
略
14. 已知A(1,-2,11)、B(4,2,3)、C(x,y,15)三点共线,则xy =___________。
参考答案:
2
略
15. 不等式(x﹣2)2≤2x+11的解集为 .
参考答案:
[﹣1,7]
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】将不等式展开,利用一元二次不等式的 解法解不等式即可.
【解答】解:∵(x﹣2)2≤2x+11,
∴x2﹣6x﹣7≤0,
即(x﹣7)(x+1)≤0,
解得﹣1≤x≤7,
∴不等式的解集为[﹣1,7].
故答案为:[﹣1,7]
16. 对四个样本点,,,分析后,得到回归直线方程为,则样本点中m的值为 .
参考答案:
7.01
17. 圆心为C(1,﹣2),半径长是3的圆的标准方程是 .
参考答案:
(x﹣1)2+(y+2)2=9
【考点】圆的标准方程.
【分析】根据圆心坐标与半径,可直接写出圆的标准方程.
【解答】解:∵圆的圆心为C(1,﹣2),半径长是3,
∴圆的标准方程是(x﹣1)2+(y+2)2=9
故答案为:(x﹣1)2+(y+2)2=9
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)设椭圆的焦点在轴上
(1)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;
(2)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上。
参考答案:
(1)因为焦距为1,所以,解得,
故椭圆E的方程为。
(2)设,其中,由题设知,
则直线的斜率,直线的斜率,
故直线的方程为,
当时,即点的坐标为,
因此直线的斜率为,
由于,所以
化简得
将上式代入椭圆E的方程,由于在第一象限,解得,即点在直线上。
19. 已知椭圆过点,且离心率。
(1)求椭圆方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点、,且线段的垂直平分线过定点,求直线的方程。
参考答案:
解:(Ⅰ)由题意椭圆的离心率
∴椭圆方程为
又点在椭圆上
∴椭圆的方程为
(Ⅱ)设
由 消去并整理得
∵直线与椭圆有两个交点,∴,即
又,中点的坐标为
∵线段的垂直平分线过定点
∴,满足
所求直线的方程是
略
20. 在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.(12分)(1)求展开式的第四项;(2)求展开式的常数项;
参考答案:
(1) (2)
略
21. 已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|2x|+3.
(1)解不等式f(x)≥0;
(2)若对任意实数x,都有f(x)≥a﹣3|x|,求实数a的取值范围.
参考答案:
见解析
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)问题转化为a≤|x﹣2|+|x|,根据绝对值的意义,求出a的范围即可.
【解答】解:(1)f(x)≥0,即|x﹣2|﹣|2x|+3≥0,
x≤0时,2﹣x+2x+3≥0,解得:0≥x≥﹣5,
0<x<2时,2﹣x﹣2x+3≥0,解得:0<x≤,
x≥2时,x﹣2﹣2x+3≥0,解得:x≤1,无解,
综上,不等式的解集是[0,];
(2))若对任意实数x,f(x)≥a﹣3|x|,
即对任意实数x,|x﹣2|﹣|2x|+3≥a﹣3|x|,
即a≤|x﹣2|+|x|,
而|x﹣2|+|x|≥|x﹣2﹣x|=2,
故a≤2.
22. 已知函数
(I)若在处的切线的斜率为,求a的值;
(Ⅱ),不等式恒成立,求整数a的最大值.
参考答案:
(Ⅰ)(Ⅱ)
【分析】
(Ⅰ)由题意得,解之即得a的值;(Ⅱ)不等式或化为,设,再利用导数研究函数h(x)的图像和性质得解.
【详解】解:(Ⅰ),
由题意得,则.
(Ⅱ)不等式或化为.设,。
设,当时,,
则在单调递增.
又,,则在存在唯一零点满足.则当时,单调递减,当时,单调递增,则.
又因为,则,因为,则,则整数的最大值为.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义,考查利用导数研究不等式的恒成立问题,考查函数的最值、单调性、零点问题的综合应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于难题.
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