广东省梅州市萃文中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析

广东省梅州市萃文中学2022-2023学年高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 用列举法表示集合{（x，y）|}，正确的是（　　） A．（﹣1，1），（0，0） B．{（﹣1，1），（0，0）} C．{x=﹣1或0，y=1或0} D．{﹣1，0，1} 参考答案： B 【考点】集合的表示法． 【分析】解方程组，能用列举法表示所求集合． 【解答】解：集合{（x，y）|}={（﹣1，1），（0，0）}， 故选：B． 2. 设关于x的不等式的解集为S，且3∈S，4?S，则实数a的取值范围为（　　） A． B．C．         D．不能确定 参考答案： C 【考点】其他不等式的解法；元素与集合关系的判断． 【专题】计算题． 【分析】由已知中关于x的不等式的解集为S，且3∈S，4?S，将3，4分别代入可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可求出实数a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的不等式的解集为S， 若3∈S，则，解得a∈（﹣∞，）∪（9，+∞） 若4?S，则16﹣a=0，或，解得a∈[，16] ∵[（﹣∞，）∪（9，+∞）]∪[，16]= 故实数a的取值范围为 故选C 【点评】本题考查的知识点是分式不等式的解法，元素与集合关系的判定，其中根据已知条件构造关于a的不等式是解答本题的关键，本题易忽略4?S时，包括4使分母为0的情况，而错解为 3. 函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（   ） A．    B．     C．    D． 参考答案： A 略 4. 设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[5.5]=5，[一5.5]=﹣6），则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集为（　　） A．（2，3） B．[2，4） C．[2，3] D．（2，3] 参考答案： B 【考点】一元二次不等式的应用． 【分析】先将[x]看成整体，利用不等式[x]2﹣5[x]+6≤0求出[x]的范围，然后根据新定义[x]表示不超过x的最大整数，得到x的范围． 【解答】解：不等式[x]2﹣5[x]+6≤0可化为： （[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0 解得：2≤[x]≤3， 所以解集为2≤[x]≤3， 根据[x]表示不超过x的最大整数得不等式的解集为：2≤x＜4 故选B． 5. 直线与互相垂直，则的值是（  ） A．                             B．1                              C．0或                      D．1或 参考答案： D 6. 在数列{an}中，已知a1 = 2，，则a4等于（  ） A．4             B．11            C．10            D．8 参考答案： B 略 7. 在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是(　　) A．9              B．9          C．18             D．18 参考答案： B 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中．面积最小的面的面积为（　　） A．4 B．4 C．4 D．8 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】作出直观图，根据三视图数据计算各个表面的面积比较得出． 【解答】解：根据三视图作出物体的直观图如图所示：显然S△PCD＞S△ABC． 由三视图特征可知PA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=4，DB=2， ∴BC=4，∴S△ABC==8，S△PAC==8，S△BCD==4．S梯形PABD==12． ∴△BCD的面积最小． 故选B．    　 9. 如图是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象（实线），由于目前本线路亏损，公司有关人员提出两种扭亏为盈的方案（虚线），这两种方案分别是（　　） A．方案①降低成本，票价不变，方案②提高票价而成本不变； B．方案①提高票价而成本不变，方案②降低成本，票价不变； C．方案①降低成本，票价提高，方案②提高票价而成本不变； D．方案①提高成本，票价不变，方案②降低票价且成本降低 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明． 【解答】解：根据题意和图知，方案①：两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变； 由图看出，方案②：当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变， 故选：B． 10. 设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（    ） A．3个           B．4个            C．5个            D．6个 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数的定义域是一切实数，则m的取值范围是         ；  参考答案： 12. 函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围                  . 参考答案： 13. 已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于　　　　． 参考答案： 略 14. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________. 参考答案： 15. （3分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，则a+b的值为         ． 参考答案： 1 考点： 二次函数在闭区间上的最值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 首先把函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）转化为顶点式g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，从而确定函数的对称轴方程x=1，又因为a＞0，所以x∈[1，+∞）为单调递增函数，函数在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，所以g（2）=1，g（3）=4，进一步建立方程组求的结果． 解答： 函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b转化为： g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a ∴函数的对称轴方程x=1， ∵a＞0， ∴x∈[1，+∞）为单调递增函数 在区间[2，3]上有最大值4和最小值1， ∴ 即 解得 ∴a+b=1 故答案为：1 点评： 本题重点考查的知识点：二次函数的顶点式与一般式的互化，单调性在函数值中的应用，及相关的运算问题． 16. 一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为      ． 参考答案： 略 17. 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中取一个容量为n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，无须剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时需要在总体中先剔除一个个体，则n的值为　  　． 参考答案： 6 【考点】分层抽样方法；系统抽样方法． 【分析】由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的工程师人数得到n应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到必须是整数，验证出n的值． 【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时， 需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36． 当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为， 分层抽样的比例是，抽取的工程师人数为 ?6=， 技术员人数为 ?12=，技工人数为 ?18=， ∵n应是6的倍数，36的约数， 即n=6，12，18． 当样本容量为（n+1）时，总体容量是35人， 系统抽样的间隔为， ∵必须是整数， ∴n只能取6． 即样本容量n=6． 故答案为：6． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知二次函数的图像经过点，，，求该二次函数的解析式． 参考答案： 见解析． 解：设二次函数解析式为，， ∵二次函数的图象经过点、、， ∴，  解得：，，， ∴该二次函数的解析式是：． 故答案为：． 19. 如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为an．如a1=1，a2=3． （1）求an； （2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和Pn？ （3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】（1）由题意知，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，进而可得an； （2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为bn，则{bn}是以为首项，以为公比的等比数列，进而可得第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和Pn； （3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n?3n﹣1，利用错位相减法，可得挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn． 【解答】解：（1）由题意知，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列， 所以an=3n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为bn， 则{bn}是以为首项，以为公比的等比数列，所以bn=， 故第n次操作中挖去的所有三角形面积为3n﹣1﹣=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 从而第n次操作后挖去的所有三角形面积之和Pn==．﹣﹣﹣﹣﹣ （3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n?3n﹣1，﹣﹣ 所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Qn=1×1+2×3+…+n?3n﹣1，① 则3Qn=1×3+2×32+…+n?3n，② ①﹣②得，﹣2Qn=1+3+32+…+3n﹣1﹣n?3n=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故Qn=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，、 分别是、的中点。 （1）求证：； （2）求证：平面。 参考答案： 证明： （1）∵PA⊥底面ABCD ∴AD是PD在平面ABCD内的射影 ∵CD平面ABCD且CD⊥AD ∴CD⊥PD. （2）取CD中点G，连EG、FG， ∵E、F分别是AB、PC的中点 ∴EG∥AD，FG∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD 略 21. 已知函数，且. （Ⅰ）判断的奇偶性并说明理由；      （Ⅱ）判断在区间上的单调性，并证明你的结论； （Ⅲ）若在区间上，不等式恒成立，试确定实数的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）由得：         ∴，其定义域为          又         ∴函数在上为奇函数。  （II）